Was ist eine Stichprobe einer Zufallsvariablen?

Die Zufallsvariable wird als messbare Funktion von einer Algebra mit dem zugrunde liegenden Maß zu einer anderen Algebra .$X$$\sigma$$(\Omega_1, \mathcal F_1)$$P$$\sigma$$(\Omega_2, \mathcal F_2)$

Wie sprechen wir über eine Stichprobe dieser Zufallsvariablen? Behandeln wir es als ein Element aus ? Oder als die gleiche messbare Funktion wie ?$X^n$$\Omega_2$$X$

Wo kann ich mehr darüber lesen?

Beispiel:

Bei der Monte-Carlo-Schätzung beweisen wir die Unparteilichkeit des Schätzers, indem wir die Stichproben als Funktionen betrachten. Wenn eine Erwartung einer Zufallsvariablen definiert ist als$(X^n)_{n = 1}^N$$X$

$$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}$$

und unter der Annahme, dass Funktionen sind und , können wir wie folgt vorgehen:$X^n$$X^n = X$

$$\begin{align} \mathbb E\left[\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N f(X^n)\right] &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X^n)] \\ &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X)] \\ &= \mathbb E[f(X)]. \end{align}$$

Wenn nur ein Element aus , hätten wir den letzten Satz von Gleichungen nicht schreiben können.$X^n$$\Omega_2$

Eine Probe ist eine Funktion von meßbaren zu . Eine Realisierung dieser Probe ist der Wert durch die Funktion , die am , .Ω 1 Ω N 2 ω ∈ Ω 1 ( x 1 , … , x N ) = ( X 1 ( ω ) , … , X N ( ω ) $(X^1,\ldots,X^N)$$\Omega_1$$\Omega_2^N$$\omega\in\Omega_1$$(x^1,\ldots,x^N)=(X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega))$

Bei der Angabe

unter der Annahme, dass Funktionen sind undX n = $X^n$$X^n=X$

Die Funktionen sind alle verschiedene Funktionen, was bedeutet, dass die Bilder für ein gegebenes . Wenn die Stichprobe iid ist (unabhängig und identisch verteilt), unterscheiden sich die Funktionen mit zwei weiteren Eigenschaften$X^n$$X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega)$$\omega$$X^n$

1. identische Verteilung, dh für alle messbaren Mengen in ;$\mathbb{P}(X^1\in A)=\cdots=\mathbb{P}(X^N\in A)$$A$$\mathcal{F}_2$
2. Unabhängigkeit, was bedeutet, dass für alle messbaren Mengen in$\mathbb{P}(X^1\in A^1,\ldots,X^N\in A^N)=\mathbb{P}(X^1\in A^1)\cdots\mathbb{P}(X^N\in A^N)$$A^1,\ldots,A^N$$\mathcal{F}_2$

Deine Definition

$$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm d\omega_1 \end{align}$$

ist falsch: es sollte sein

$$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}$$

Die Stichprobe kann aus der Grundgesamtheit und nicht aus einer Zufallsvariablen gezogen werden. "Stichprobe von Zufallsvariablen" ist eine vereinfachte Art zu sagen, dass wir eine Stichprobe aus der Grundgesamtheit haben, von der wir annehmen, dass es sich um identisch verteilte Zufallsvariablen handelt. Eine solche Stichprobe verhält sich also wie Zufallsvariablen. Es ist mehrdeutig, weil es die in Wahrscheinlichkeit und Statistik verwendete Terminologie mischt. Gleiches gilt für die Simulation, bei der Proben aus der gemeinsamen Verteilung entnommen werden . In beiden Fällen sind die Daten Stichprobe$n$$n$$n$du hast. Stichproben werden als Zufallsvariablen betrachtet, da zufällige Prozesse dazu führen, dass sie gezogen werden. Sie sind identisch verteilt, da sie aus der gemeinsamen Verteilung stammen. Für den Umgang mit Stichproben haben wir Statistiken, während Statistiken eine abstrakte, mathematische Beschreibung der Probleme in Bezug auf die Wahrscheinlichkeitstheorie verwenden, sodass die Terminologie gemischt ist. Zufallsvariablen sind Funktionen , die Ereignissen, die in Ihren Stichproben auftreten können, Wahrscheinlichkeiten zuweisen.