Was ist Epsilon-Konvergenz in der Wahrscheinlichkeit?

Ich verstehe, dass die Formel für die Wahrscheinlichkeit der Konvergenz und ich kann Probleme mit der Formel lösen. Kann jemand es intuitiv erklären (als wäre ich fünf Jahre alt), insbesondere in Bezug auf das, was ist?$P[|X_n − X_\infty| \gt \epsilon ]\to 0$$\epsilon$

Da es sich um Konvergenz handelt - insbesondere in diesem Fall um die Konvergenz von zu - möchten wir zeigen, dass wirklich sehr, sehr, sehr nahe kommt, wenn immer größer wird.X ∞ X n X ∞$X_n$$X_\infty$$X_n$$X_\infty$$n$

Stellen Sie sich als eine wirklich kleine positive Zahl vor. Angenommen, Sie denken, ist gut genug. Um zu zeigen, dass wirklich, wirklich, wirklich nahe an , wollen wir zeigen, dass für ausreichend großes in fällt . (Ausreichend große nur bedeutet , dass es einige so daß für jedes , ist innerhalb von plus oder minus von mit einer Wahrscheinlichkeit von 1.)ε = 0,01 X n X ∞ X n ( X ∞ - 0,01 , X ∞ + 0,01 ) n n n ' n > n ' X n 0,01 X $\varepsilon$$\varepsilon = 0.01$$X_n$$X_\infty$$X_n$$(X_\infty-0.01,X_\infty+0.01)$$n$$n$$n'$$n > n'$$X_n$$0.01$$X_\infty$

Aber sagen Sie, dass ich nicht davon überzeugt bin, dass zu konvergiert, weil für mich einfach zu groß erscheint. Lassen Sie stattdessen . Dann bin ich davon überzeugt , dass konvergent zu (oder dass wirklich, wirklich, wirklich nah an ) , wenn wir das zeigen können, für hinreichend große , innen fällt .X ∞ ε = 0,01 ε = 0,0001 X n X ∞ X n X ∞ n X n ( X ∞ - 0,0001 , X ∞ + 0,0001 $X_n$$X_\infty$$\varepsilon=0.01$$\varepsilon = 0.0001$$X_n$$X_\infty$$X_n$$X_\infty$$n$$X_n$$(X_\infty-0.0001,X_\infty+0.0001)$

Angenommen, Sie haben viele Freunde, die auswählen , um immer kleiner zu werden. Die Idee hinter der Konvergenz ist, dass für jedes , egal wie klein wird, zeigt, dass für ausreichend großes in fällt , dass zu konvergiert .ε > 0 ε X n X ∞ ± ε n X n X $\varepsilon$$\varepsilon > 0$$\varepsilon$$X_n$$X_\infty\pm\varepsilon$$n$$X_n$$X_\infty$

Im Grunde ist nur eine kleine positive Zahl. In Bezug auf die Konvergenz möchten Sie zeigen können, dass für jedes (damit alle Ihre unendlichen Freunde mit unterschiedlichen Werten überzeugt sind) die Konvergenzsequenz irgendwann innerhalb von plus liegt oder minus der Grenze, an die die Sequenz Ihrer Meinung nach konvergiert. Wenn Sie nicht zeigen können, dass Ihre Sequenz innerhalb von der angenommenen Grenze für einige , kann die Sequenz nicht zu dieser Grenze konvergieren.ε > 0 ε ε ε $\varepsilon$$\varepsilon > 0$$\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$

Folgen von Zufallsvariablen.

Intuition kommt von Metaphern. Die folgende Metapher, die zufällige Mengen modelliert, indem sie Zettel aus einem Behälter zieht, erfasst alle wesentlichen mathematischen Elemente und beschönigt gleichzeitig einen technischen Zustand ("Messbarkeit"), der erforderlich ist, um Situationen mit unzähligen Tickets zu verstehen.

$\Omega$$\omega\in\Omega$

$X$$\omega$$X$$X(\omega)$

$X_1, X_2, \ldots, X_n, \ldots$$X_1(\omega), X_2(\omega),\ldots$

$X_\infty$

Ereignisse und Wahrscheinlichkeit.

$\epsilon$

$|X_n - X_\infty| \ge \epsilon$$\omega\in\Omega$$X_n(\omega)$$X_\infty(\omega)$$\epsilon$$\Pr\left(|X_n - X_\infty| \ge \epsilon\right)$

Grenzen.

Jede Behauptung über ein Limit ist eine Form des mathematischen Spiels. Wenn wir schreiben, dass eine Sequenz ein Limit , meinen wir, dass wir ein Spiel gegen einen hypothetischen Gegner spielen können (der sein Bestes tut, um uns verlieren zu lassen) und wir werden immer gewinnen . Im Limit-Spiel nennt Ihr Gegner eine positive Zahl - normalerweise eine winzige -, die wir . Sie gewinnen, wenn Sie eine endliche Anzahl von Elementen aus dieser Sequenz entfernen und zeigen können, dass sich alle verbleibenden Elemente in einem Abstand von . Wie in jedem Spiel können Sie Ihre Reaktion auf den Zug Ihres Gegners kalibrieren: Die Elemente, die Sie entfernen, dürfen von abhängen .δ δ L $L$$\delta$$\delta$$L$$\delta$

Wahrscheinlichkeitsgrenzen.

Wenden wir das Limitspiel auf die Behauptung . Da es sich bei dieser Behauptung um eine nicht spezifizierte Menge , kann Ihr Gegner auch deren Wert angeben. Das macht es für Sie so schwierig wie möglich, das Spiel zu gewinnen.$\Pr\left(|X_n - X_\infty| \ge \epsilon\right)\to 0$$\epsilon$

Unabhängig davon, welche Werte von und Ihr Gegner angibt, besteht Ihre Antwort darin, eine endliche Anzahl der Zufallsvariablen auf den Tickets zu streichen. Lassen Sie für jede verbleibende Zufallsvariable die Tickets, bei denen sich von um oder mehr unterscheidet, die "schlechten" für . Sie gewinnen das Spiel der Anteile von schlechten Karten versehen sind immer weniger als (für alle die , die bleiben).δ > 0 X i X n X n ( ω ) X ∞ ( ω ) ϵ n δ X $\epsilon$$\delta \gt 0$$X_i$$X_n$$X_n(\omega)$$X_\infty(\omega)$$\epsilon$$n$$\delta$$X_n$

Ein kleiner Gedanke zeigt die Subtilität dieses Spiels: Die schlechten Tickets für müssen keine Beziehung zu den schlechten Tickets für$n$$m$ (wobei und eine der verbleibenden Zufallsvariablen bezeichnen, die Sie nicht durchgestrichen haben). Mit anderen Worten, auf jedem Ticket können die Werte überall abprallen. Die Wahrscheinlichkeitsgrenze ist eine Aussage darüber, was auf allen Tickets in der Box steht, aber keine Aussage darüber, was auf einem einzelnen Ticket geschrieben sein könnte.m X n ( ω $n$$m$$X_n(\omega)$