Erwarteter Wert des Verhältnisses korrelierter Zufallsvariablen?

Für unabhängige Zufallsvariablen und gibt es einen Ausdruck in geschlossener Form für$\alpha$$\beta$

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right]$

in Bezug auf die erwarteten Werte und Varianzen von und ? Wenn nicht, gibt es eine gute Untergrenze für diese Erwartung?$\alpha$$\beta$

Update: Ich kann auch erwähnen, dass und . Ich kann die Varianz von und steuern , und ich denke an eine Einstellung, bei der die Varianzen von und im Vergleich zu ziemlich klein sind . Möglicherweise sind beide Standardabweichungen kleiner als 0,3.E [ β ] = 0 α β α β E [ α $\mathbb E[\alpha] = 1$$\mathbb E[\beta] = 0$$\alpha$$\beta$$\alpha$$\beta$$\mathbb E[\alpha]$

Ich dachte an eine Untergrenze, obwohl ich nicht denke, dass sie sehr eng ist. Ich wähle einfach einen beliebigen Wert, der kleiner als der Mittelwert von und einen anderen beliebigen Wert um den Mittelwert von . Da die Erwartung einer nicht negativen Zufallsvariablen ist und und unabhängig sind,β 2 α $\alpha$$\beta^2$$\alpha$$\beta$

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right] \ge \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbb P(\alpha \ge \frac{1}{2}) \mathbb P(\beta^2 \le\frac{1}{4})$ .

Durch Chebyshevs Ungleichung,

$\mathbb P(\alpha \ge \frac{1}{2}) = \mathbb P(\alpha - 1 \ge -\frac{1}{2}) \ge \mathbb P(|\alpha - 1| \le \frac{1}{2}) = 1 - \mathbb P(|\alpha - 1| \ge \frac{1}{2}) \ge 1 - 4\mathrm{var}(\alpha)$

Durch Markovs Ungleichung

$\mathbb P(\beta^2 \le\frac{1}{4}) = 1 - \mathbb P(\beta^2 \ge\frac{1}{4}) \ge 1 - 4 \mathbb E[\beta^2] = 1 - 4\mathrm{var}(\beta)$

Deshalb,

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right] \ge \frac{1}{\sqrt{2}} (1 - 4 * 0.3^2) (1 - 4 * 0.3^2) > 0.28$

Ist eine standardmäßige / systematische Methode, um das zu tun, was ich hier mache, eine engere Bindung?