Ist

Ist ? Und was ist mit Ich bin durch die Beziehungen verwirrt. Es scheint intuitiv der Fall zu sein. Wenn es richtig ist, wie beweise ich es mathematisch? Ich habe auf dieser Seite und anderswo gesucht ...E [ E ( X | Y = y ) | Z = z ] = E [ X | Y = y , Z = z $E[E(X|Y)|Z] =E[X|Y,Z]$$E[E(X|Y=y)|Z=z] =E[X|Y=y,Z=z]$

Diese beiden bedingten Erwartungen unterscheiden sich im Allgemeinen:

$$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z] \ne\mathbb{E}[X|Y,Z]$$

Tatsächlich leben sie streng genommen nicht einmal im selben Funktionsraum wie der erste, eine Funktion von , messbarem Wrt , der durch induzierten Algebra , während der zweite ist eine Funktion von , daher messbares Wrt , die durch induzierte Algebra ,σ ( Z ) σ Z ( Y , Z ) σ ( Y , Z ) σ ( Y , Z $Z$$\sigma(Z)$$\sigma$$Z$$(Y,Z)$$\sigma(Y,Z)$$\sigma$$(Y,Z)$

Betrachten Sie als Gegenbeispiel die Einstellung wann

1. $X$ und sind unabhängig$Y$
2. Z E [ X | Z ] ≠ E [ X $X$ und sind abhängig von$Z$$\mathbb{E}[X|Z]\ne \mathbb{E}[X]$

Dann wegen der Unabhängigkeit zwischen und , und deshalbY E ( X | Y ) = E [ X ] E [ E ( X | Y ) | Z ] = E [ X ] ≠ E [ X | Y , Z $X$$Y$$\mathbb{E}(X|Y)=\mathbb{E}[X]$

$$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]= \mathbb{E}[X]\ne\mathbb{E}[X|Y,Z]$$

Eine gültige Gleichheit ist stattdessen , die für alle Abhängigkeitsbeziehungen zwischen den drei Zufallsvariablen gilt.

$$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y,Z)|Z]=\mathbb{E}[X|Z]$$

---

Notationen: Der Unterschied zwischen den Notationen und ist dasE [ E ( X | Y = y ) | Z = z $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]$$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y=y)|Z=z]$

1. Z Y Y $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]$ ist eine Zufallsvariable, eine Transformation der Zufallsvariablen (und nicht der Zufallsvariablen da Y auch von abhängig ist );$Z$$Y$$Y$$Z$
2. y z y y E ( X | Y = y ) Z = z E ( X | Y = y ) X Y X y $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y=y)|Z=z]$ ist eine Funktion von anscheinend sowohl als auch , aber tatsächlich nur von (wie unten erläutert), die keine klare Bedeutung von hat ein probabilistischer Gesichtspunkt . In der Tat für einen Wert gegeben , ist eine Konstante , für die eine bedingte Erwartung bedingte auf der Erkenntnis , wobei ist wenig sinnvoll , da es auch kehrt . Zum Beispiel, wenn sowohl von als auch von als Zufallsvariable abhängt, für eine gegebene Realisierung von$y$$z$$y$$y$$\mathbb{E}(X|Y=y)$$Z=z$$\mathbb{E}(X|Y=y)$$X$$Y$$X$$y$$Y$und von z , E ( X | Y = y ) ist eine Konstante, die sich im Allgemeinen von E ( X ) und von E ( X | Y = y , Z = z ) unterscheidet . Aber E [ E ( X | Y = y ) | Z = z ] ist keine Realisierung der Zufallsvariablen E [ $Z$$z$$\mathbb{E}(X|Y=y)$$\mathbb{E}(X)$$\mathbb{E}(X|Y=y,Z=z)$$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y=y)|Z=z]$ . Die korrekte Realisierung ist E [ E ( X | Y ) | Z = z $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]$$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z=z]$