Bedingte Erwartung einer exponentiellen Zufallsvariablen

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Für eine Zufallsvariable ist XExp(λ) ( E[X]=1λ ) Ich fühle intuitiv, dassE[X|X>x]sollte gleichx+E[X]da durch die memorylose Eigenschaft die Verteilung vonX|X>xist dasselbe wieXjedoch umnach rechts verschobenx.

Ich bemühe mich jedoch, die memorylose Eigenschaft zu verwenden, um einen konkreten Beweis zu liefern. Jede Hilfe wird sehr geschätzt.

Vielen Dank.

mchen
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Hinweis: ist der mathematische Ausdruck "auf der rechten Seite durch verschoben entsprechenden ein ", und so E [ X | X > a ] = - x f X | X > a ( x )fX|X>a(x)=fX(xa)einNehmen Sie nun eine Änderung der Variablen für das Integral auf der rechten Seite vor.
E[XX>a]=xfXX>a(x)dx=xfX(xa)dx.
Dilip Sarwate
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Beachten Sie, dass ist eine abgeschnittene Verteilung, die unter " x " abgeschnitten ist. Insbesondere ist sie eine verschobene Exponentialverteilung und verschobene Exponentialverteilung hat keine memorylose Eigenschaft . X|X>xx
AD

Antworten:

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Durch die Eigenschaft memoryless die Verteilung vonX|X>x ist dasselbe wieX jedoch umx nach rechts verschoben.

Lassen Sie fX(t) die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (pdf) von bezeichnen X . Dann lautet die mathematische Formulierung für das, was Sie korrekt angeben nämlich das bedingte pdf von X vorausgesetzt, dass {X>x} dasselbe ist wie das von X aber um x nach rechts verschoben dass fXX>x(t)=fX(tx) . Daher ist E[XX>x] , dererwartete WertvonX gegebendass{X>x} ist

E[XX>x]=tfXX>x(t)dt=tfX(tx)dt=(x+u)fX(u)duon substituting u=tx=x+E[X].
Beachten Sie, dass wir die Dichte vonXin der Berechnungnicht explizit verwendet habenund nicht einmalexplizitintegrieren müssen,wenn wir uns nur daran erinnern, dass (i) die Fläche unter einem PDF1und (ii) der erwartete Wert von a definiert ist kontinuierliche Zufallsvariable in Bezug auf seine PDF.

Dilip Sarwate
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Für hat das Ereignis { X > x } die Wahrscheinlichkeit P { X > x } = 1 - F X ( x ) = e - λ x > 0 . Daher ist E [ X X > x ] = E [ Xx>0{X>x}P{X>x}=1-FX(x)=e-λx>0 aber E [ X

E[XX>x]=E[Xich{X>x}]P{X>x},
(unter Verwendung des Feynmanschen Tricks, der durch das Dominated Convergence Theorem bestätigt wird, weil es Spaß macht) ( ) = - λ x d
E[Xich{X>x}]=xtλe-λtdt=()
()=-λxddλ(e-λt)dt=-λddλxe-λtdt
=λddλ(1λxλeλtdt)=λddλ(1λ(1FX(x)))
=λddλ(eλxλ)=(1λ+x)eλx,
E[XX>x]=1λ+x=E[X]+x.
Zen
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Obwohl die Verwendung von Feynmans Trick interessant ist, warum nicht einfach nach Teilen integrieren lassen
xtλe-λtdt=-te-λt|x+xe-λtdt=(x+1λ)e-λx?
Dilip Sarwate