Ich fühle mich ein bisschen unwohl, wie ich mich mental mit Borels Paradox und anderen damit verbundenen "Paradoxen" befasst habe, die mit bedingten Wahrscheinlichkeiten zu tun haben. Für diejenigen, die dies lesen und nicht damit vertraut sind, siehe diesen Link . Meine mentale Reaktion bestand bisher hauptsächlich darin, es zu ignorieren, weil niemand darüber zu sprechen scheint, aber ich denke, ich sollte das korrigieren.
Wir wissen, dass dieses Paradoxon existiert, und doch scheint es uns in der Praxis (als extremes Beispiel die Bayes'sche Analyse) völlig in Ordnung zu sein, Ereignisse des Maßes zu konditionieren . Wenn meine Daten sind, setzen wir ganze Zeit voraus, obwohl dies ein Ereignis von Maß wenn stetig ist. Und wir bemühen uns sicherlich nicht, eine Abfolge von Ereignissen zu konstruieren, die zu dem beobachteten Ereignis konvergieren, um das Paradoxon zumindest nicht explizit aufzulösen.X X = x 0 X
Ich denke, das ist in Ordnung, weil wir die Zufallsvariable (im Prinzip) vor dem Experiment im Wesentlichen fixiert haben und daher auf konditionieren . Das heißt, ist die zu bedingende natürliche Algebra, da die Information über Wenn sie auf andere Weise zu uns gekommen wäre, würden wir eine andere Bedingung für -Algebra. Borels Paradox entsteht, weil (ich vermute) es nicht offensichtlich ist, unter welchen Bedingungen die entsprechende Algebra vorliegt, aber der Bayesian hat . Weil wir a priori angeben, dass die Informationenσ ( X ) σ ( X ) σ X = x X σ σ σ ( X ) X = x zu uns gekommen, indem wir gemessen haben. Wir sind im klaren. Nachdem wir die -Algebra angegeben haben, ist alles in Ordnung. Wir konstruieren unsere bedingten Erwartungen mit Radon-Nikodym und alles ist einzigartig bis zu Nullsätzen.
Ist das im Wesentlichen richtig, oder bin ich weit weg? Wenn ich weit weg bin, was ist die Rechtfertigung für unser Verhalten? [Betrachten Sie dies angesichts der Frage-und-Antwort-Eigenschaften dieser Website als meine Frage.] Als ich meine maßstabstheoretische Wahrscheinlichkeit ermittelte, haben wir aus irgendeinem Grund, den ich nicht verstehe, nicht einmal bedingte Erwartungen berührt. Aus diesem Grund mache ich mir Sorgen, dass meine Ideen sehr verwirrt sind.
Antworten:
Als Bayesianer würde ich sagen, dass Borels Paradoxon nichts (oder sehr wenig) mit Bayesianischen Statistiken zu tun hat. Abgesehen davon, dass in der Bayes'schen Statistik natürlich bedingte Verteilungen verwendet werden. Die Tatsache, dass es kein Paradoxon gibt, eine posteriore Verteilung als Bedingung für eine Menge von Maß Null ist, dass nicht im Voraus ausgewählt wird, sondern als Ergebnis der Beobachtung. Wenn wir also exotische Definitionen für die bedingten Verteilungen auf Mengen von Maß Null verwenden möchten, besteht keine Chance, dass diese Mengen das enthalten, das wir am Ende beobachten werden. Die bedingte Verteilung ist fast überall eindeutig definiert und daher für unsere Beobachtung fast sicher. Dies ist auch die Bedeutung des (großen) Zitats von A. Kolmogorov inx x{X=x} x x der Wikipedia-Eintrag.
Ein Punkt in der Bayes'schen Analyse, an dem sich messungstheoretische Feinheiten in ein Paradox verwandeln können, ist die Savage-Dickey-Darstellung des Bayes-Faktors, da sie von einer bestimmten Version der vorherigen Dichte abhängt (wie in unserem Artikel zum Thema beschrieben ...).
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