Identität der Moment erzeugenden Funktionen

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Gibt es nicht identische Verteilungen, die zufällig die gleiche momenterzeugende Funktion haben?

kjetil b halvorsen
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Siehe Wikipedia unter
Momenterzeugungsfunktion
@onestop das beantwortet es! Wenn du das als Antwort geben willst, nehme ich das an.

Antworten:

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Ja.

In einer Übung zitieren Stuart & Ord ( Kendalls Advanced Theory of Statistics , 5. Aufl., Bsp. 3.12) ein Ergebnis von TJ Stieltjes aus dem Jahr 1918 (das offenbar in seinen Oeuvres Completes enthalten ist ):

Wenn eine ungerade Funktion von Punkt , zeige das1f12

0xrxlogxf(logx)dx=0

für alle Integralwerte von . Zeigen Sie daher, dass die Verteilungenr

dF=xlogx(1λsin(4πlogx)) dx,0x<;0|λ|1,

habe die gleichen Momente, egal welchen Wert .λ

(Im Original erscheint nur als ; die Beschränkung der Größe von ergibt sich aus dem Erfordernis, alle Werte der Dichtefunktion nicht negativ zu halten.) Die Aufgabe ist durch die Substitution leicht zu lösen und Vervollständigung des Quadrats. Der Fall ist die bekannte logarithmische Normalverteilung .|λ|λλdFx=exp(y)λ=0

Bildbeschreibung hier eingeben

Die blaue Kurve entspricht , einer Lognormalverteilung. Für die rote Kurve ist und für die goldene Kurve .λ=0λ=-1/4λ=1/2

whuber
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Die logarithmische Normalverteilung hat jedoch keine momenterzeugende Funktion.
am
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Das ist ein ausgezeichneter Punkt, onestop, und ich muss dem zustimmen. Ich nahm die Frage im Sinne von "die gleichen Momente haben" und hätte auf diese Änderung der Interpretation hinweisen sollen. Wenn die mgf als Funktion existiert (und nicht nur als formale Potenzreihe), kann sie invertiert werden, um eine eindeutige Dichte zu erzeugen, der sie entspricht.
Whuber
Es ist nicht wahr , dass die lognormal Eich habe keine mgf, es ist nur , dass es nicht auf einem definierten offenen Intervall Null enthält
kjetil b Halvorsen
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Für das Protokoll haben sowohl @onestop als auch ich implizit die Existenz eines mgf in einer Nachbarschaft von0. diskutiert Dieser Sinn wird oft angenommen, weil eine der grundlegendsten Verwendungen eines mgf darin besteht, seine MacLaurin-Reihe zu erweitern (Taylor-Reihe um ). um die 00.
momente
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@whuber: Das ist in Ordnung, aber es scheint implizit so oft verstanden zu werden, dass man vergisst, dass mgfs auch sonst nützlich sein können. Siehe auch (die Links in) stats.stackexchange.com/questions/389846/…
kjetil b halvorsen