Sind zwei normale Standard-Zufallsvariablen immer unabhängig?

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Ich habe gelernt, dass die Standardnormalverteilung eindeutig ist, weil der Mittelwert und die Varianz auf 0 bzw. 1 festgelegt sind. Aufgrund dieser Tatsache frage ich mich, ob zwei Standard-Zufallsvariablen unabhängig sein müssen.

C. Hawk
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Warum sollten sie sein ..? Unabhängigkeit hat nichts mit Verteilung zu tun.
Tim
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Betrachten und . Sie sind nicht unabhängig. XX
Djechlin
Dies kann aus praktischer Sicht hilfreich sein. stats.stackexchange.com/questions/15011/…
JustGettinStarted
Zusätzlich zu den netten Beispielen wird allgemein eine bivariate Normalverteilung mit N (0,!) - Randverteilungen betrachtet. Es ist möglich, eine Korrelation zwischen -1 und 1 zu haben. Die folgenden Beispiele sind alle Sonderfälle. Abgesehen davon ist es möglich, dass zwei Standardnormalvariablen abhängig sind, aber keine bivariate Verteilung haben.
Michael R. Chernick
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Ich stelle fest, dass Batman ein allgemeines Ergebnis liefert, das möglicherweise dem entspricht, was ich vorschlage. Der Fall Y = -X hat die Korrelation -1 und ist somit eine entartete Form einer bivariaten Normalen. Ich habe hier (in diesem Beitrag) kein Beispiel gesehen, das einen nicht bivarianten Normalfall veranschaulicht.
Michael R. Chernick

Antworten:

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Die Antwort ist nein. Wenn zum Beispiel eine Standard-Zufallsvariable ist, folgt der gleichen Statistik, aber und sind eindeutig abhängig.XY=XXY.

zap
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Nein, es gibt keinen Grund zu der Annahme, dass zwei Standard-Gaußsche unabhängig sind.

Hier ist eine einfache mathematische Konstruktion. Angenommen, und Y sind zwei unabhängige normale Standardvariablen. Dann das PaarXY

X,X+Y2

sind zwei abhängige normale Standardvariablen. Solange es also zwei unabhängige normale Variablen gibt, müssen zwei abhängige Variablen vorhanden sein .

Die zweite Variable ist normal, da jede lineare Kombination unabhängiger normaler Variablen wieder normal ist. Das ist da, um die Varianz gleich1zu machen.21

V(X+Y.2)=122(V(X)+V(Y.))=1

Diese sind intuitiv abhängig, da Sie durch die Kenntnis des Werts von zusätzliche Informationen erhalten, mit denen Sie den Wert der zweiten Variablen vorhersagen können. Wenn Sie beispielsweise wissen, dass X = x ist , ist die bedingte Erwartung der zweiten VariablenXX=x

E[X+Y.2X=x]=x2
Matthew Drury
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Hier ist eine ziemlich breite Antwort:

Sei gemeinsam eine Gaußsche Zufallsvariable (dh für beliebige a , b reelle Zahlen hat a X + b Y eine Gaußsche Verteilung). Dann sind X und Y genau dann unabhängig, wenn E [ ( X - E [ X ] ) ( Y - E [ Y ] ) ] = 0 ist (dh sie sind nicht korreliert). Sehen Sie diese Hinweise , beispielsweise für weitere Einzelheiten.X,Y.ein,beinX+bY.XY.E[(X-E[X])(Y.-E[Y.])]=0

Wie können normale Standard-Zufallsvariablen generiert werden, die nicht unabhängig sind? Wählen Sie Ihre Lieblingsmatrix der Form so dass ( λ - 1 ) 2 - p 2 positive Wurzeln in λ hat . Wenden Sie dann die Cholesky-Zerlegung auf Σ = R R T an . Nehmen Sie dann zwei unabhängige normale Standard-Zufallsvariablen U , V und dann den Vektor R [ U V ].Σ=[1pp1](λ-1)2-p2λΣ=RRTU,VR[UV]hat normale Standardkomponenten, aber die Komponenten sind genau dann unabhängig, wenn .p=0

Batman
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Ein nicht bivariates normales Beispiel (wie Michael Chernick in den Kommentaren vorschlägt):

Sei fX,Y.(x,y)={1πe-x2+y22xy00Ö.w.

fX,Y.(x,y)fX(x)fY.(y)

Batman
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