Beweisen Sie anhand von Momenten, dass eine Verteilung symmetrisch ist

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Gegeben ist eine Zufallsvariable X, deren Mittelwert, Varianz und viertes Zentralmoment 0, 2 bzw. 4 sind. Wie beweise ich das?

(1) Der dritte Moment ist 0

(2) verteilen ist symmetrisch um 0 und

(3) X ist begrenzt.

Mit den obigen Informationen konnte ich nur feststellen, dass die Verteilung platykurtisch ist. Auch wenn bewiesen ist, dass der dritte Moment Null ist, wie kann dies zu Symmetrie führen? Kann Symmetrie nicht nur durch Zeichnen der Daten nachgewiesen werden?

Gibt es einen Fehler in der Frage?

self-study moments symmetry Harry
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1

Ich kenne nur eine Verteilung, die je nach Standort und Umfang diese Momente hat: einen Bernoulli . Beachten Sie, dass seine Kurtosis (seine überschüssige Kurtosis ist ). Sie könnten daher versuchen zu zeigen, dass es mit diesen Momenten keine anderen Verteilungen gibt.

(1 / 2)

$(1/2)$

1

$1$

- 2

$-2$

whuber

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Es ist eine Tatsache, dass die Funktion

ϕ_{Y} : n \to E (| Y |^{n})^{1 / n}, n > 0

$\phi_Y: n \to \mathbb{E}(|Y|^n)^{1/n},\ n \gt 0$

(bekannt als die Norm von ) nimmt nicht ab. Die Demonstration unter https://stats.stackexchange.com/a/244221 verwendet Jensens Ungleichung (angewendet auf eine streng konvexe Funktion). Diese Ungleichung ist immer dann eine strikte Ungleichung, wennkann mit positiver Wahrscheinlichkeit mehr als einen Wert annehmen. $L_n$ $Y$ $|Y|$

Lassen Sie die zentrierte Version von , aus den gegebenen Werten der Varianz und des vierten (zentralen) Moments, die wir ableiten $Y=X - \bar X$ $X$

E (| Y |^{4})^{1 / 4} = 4^{1 / 4} = \sqrt{2} = Var (X)^{1 / 2} = E (| Y |^{2})^{1 / 2},

$\mathbb{E}(|Y|^4)^{1/4} = 4^{1/4} = \sqrt{2} = \operatorname{Var}(X)^{1/2} = \mathbb{E}(|Y|^2)^{1/2},$

welches . Folglich ist , weil nicht abgenommen hat ist fast sicher konstant, woher höchstens zwei unterschiedliche Werte annehmen kann (fast sicher). Es ist unmittelbar, dass jeden dieser Werte mit gleicher Wahrscheinlichkeit annimmt: Das heißt, muss eine verschobene Version einer Bernoulli -Variablen sein, die mit skaliert wurde . $\phi_Y(4) = \phi_Y(2)$ $\phi$ $|Y|$ $X$ $\bar X \pm \sqrt{2}$ $X$ $X$ $(1/2)$ $\sqrt{8}$

Die Demonstration von (1) (drittes Moment Null), (2) (Symmetrie um ) und (3) (Begrenztheit) ist jetzt trivial. $0$

Beachten Sie, dass die gleichen Schlussfolgerungen gezogen werden können, wenn es zwei Momente für die . $k \ne n$ $\phi_Y(k)=\phi_Y(n)$

whuber
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In Ihrer Antwort haben Sie meiner Meinung nach strenge Ungleichheit gemeint, wenn Sie sich auf Jensens Ungleichung bezogen haben. Es gibt auch eine Bedingung, dass die Funktion konvex oder konkav ist.

Michael R. Chernick

@ Michael Danke; in der Tat meinte ich "Ungleichheit". Die fragliche Funktion ist die streng konvex ist, wie im verknüpften Thread gezeigt.

y \log (y)

$y\log(y)$

whuber

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Hier ist ein Ansatz. Dies beantwortet , wahrscheinlich und hoffentlich . $a$ $b$ $c$

Fassen wir zusammen, was wir wissen: , und . Sei . Momente jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung müssen eine positive Bestimmtheit erfüllen , in dem Sinne, dass jede richtige Untermatrix der Hankel-Moment-Matrix positiv bestimmt ist: $E[X]=0$ $E[X^2]=\mbox{Var}(X)=2$ $E[X^4]=4$ $m_i:=E[X^i]$ $n\times n$

H := (\begin{matrix} m_{0} & m_{1} & m_{2} & \dots \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} & \dots \\ m_{2} & m_{3} & m_{4} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{matrix})

$H:=\left(\begin{matrix} m_0 & m_1 & m_2 & \cdots \\ m_1 & m_2 & m_3 & \cdots \\ m_2 & m_3 & m_4 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{matrix}\right)$ .

Wenn Sie auswählen, erhalten Sie: $n=3$

H_{4} = (\begin{matrix} m_{0} & m_{1} & m_{2} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \\ m_{2} & m_{3} & m_{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & m_{3} \\ 2 & m_{3} & 4 \end{matrix}),

$H_4=\left(\begin{matrix} m_0 & m_1 & m_2 \\ m_1 & m_2 & m_3 \\ m_2 & m_3 & m_4 \\ \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & m_3 \\ 2 & m_3 & 4 \\ \end{matrix}\right),$

und eine schnelle ergibt: . Da eindeutig positiv muss, folgt, dass . $\mbox{det}(H_4)=-m_3^2$ $H_4$ $m_3=0$

Um zu zeigen, dass um 0 symmetrisch ist, genügt es zu zeigen, dass alle ungeraden Momente Null sind. Ich glaube, Sie können dies durch Induktion auf den Hankel-Untermatrizen zeigen. $X$

Um zu zeigen, dass begrenzt ist, habe ich folgende Idee: $X$

P (| X | \leq R) = 1 \Leftrightarrow E [| X |^{k}] \leq R^{k}, k = 1, 2, \dots .

$P(|X|\leq R)=1 \Leftrightarrow E[|X|^k]\leq R^k, k=1,2,\cdots .$

Vielleicht können Sie dies anhand der Hankel-Matrizen zeigen?

Alex R.
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