Wahrscheinlichkeit von Gamma größer als exponentiell

Sei und .$X \sim Gamma(3,3)$$Y \sim Exp(1)$

Wie berechne ich ?$P(X>Y)$

Ich glaube, ich schreibe es als , bin mir aber nicht sicher, wie ich für zwei verschiedene Verteilungen berechnen soll ?$P(X-Y>0)$$X-Y$

Wenn die Dichtefunktion und unabhängig hat hat die Dichtefunktion , dann $X$$\lambda \frac{(\lambda x)^2}{\Gamma(3)}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{\{x\colon x > 0\}}$$Y$$\exp(-y)\mathbf 1_{\{y\colon x > 0\}}$

$$\begin{align} P\{X < Y\} &= \int_{0}^\infty \lambda \frac{(\lambda x)^2}{\Gamma(3)}\exp(-\lambda x) \int_{x}^\infty \exp(-y)\, \mathrm dy \, \mathrm dx\\ &= \int_{0}^\infty \lambda \frac{(\lambda x)^2}{\Gamma(3)}\exp(-(\lambda+1) x)\, \mathrm dx\\ &= \left(\frac{\lambda}{\lambda+1}\right)^3\int_{0}^\infty (\lambda+1) \frac{((\lambda+1) x)^2}{\Gamma(3)}\exp(-(\lambda+1) x)\, \mathrm dx\\ &= \left(\frac{\lambda}{\lambda+1}\right)^3. \end{align}$$

---

Betrachten Sie auch einen Poisson-Prozess mit der Ankunftsrate . Wir können diesen Prozess in zwei unabhängige Poisson-Unterprozesse und der Raten bzw. zerlegen, indem wir jede Ankunft als zum Prozess gehörend kennzeichnen (mit der Wahrscheinlichkeit ) oder zum Prozess (mit der Wahrscheinlichkeit ), wobei jedes Label unabhängig von allen anderen Labels ausgewählt wird. Dann kann als die Zeit der dritten Ankunft (nach ) im$\lambda+1$$\mathcal X$$\mathcal Y$$\lambda$$1$$\mathcal X$$\frac{\lambda}{\lambda+1}$$\mathcal Y$$\frac{1}{\lambda+1}$$X$$t = 0$$\mathcal X$Unterprozess, während die Zeit der ersten Ankunft (nach ) im Unterprozess ist. Bei dieser Interpretation ist nur das Ereignis, dass die ersten drei Ankünfte nach alle als zum Unterprozess gehörend gekennzeichnet wurden, und dieses Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit . Schau, Ma! Es wurden keine Integrale berechnet, um zur Antwort zu gelangen!$Y$$t = 0$$\mathcal Y$$X < Y$$t=0$$\mathcal X$$\displaystyle \left(\frac{\lambda}{\lambda+1}\right)^3$

Es gibt eine Beziehung zwischen Gamma- und Beta-Zufallsvariablen, die zu einem allgemeinen Ausdruck für für zwei unabhängige Gamma-Zufallsvariablen führt.$P[X>Y]$

Wenn und wobei der Formparameter ist, ist der Skalierungsparameter und das meine ist dann$X \sim \rm{Gamma}(\alpha_1,\beta_1)$$Y \sim \rm{Gamma}(\alpha_2,\beta_2),$$\alpha$$\beta$$\alpha \beta,$

$$P[X>Y] = H_{\alpha_2,\alpha_1} \left( \frac{\beta_1}{\beta_1+\beta_2} \right),$$

Dabei ist die kumulative Verteilungsfunktion einer Beta-Zufallsvariablen. In Ihrem Fall berechne ich$H$$P[X>Y]=0.984375$

Wenn Sie eine andere Parametrisierung der Gammaverteilung verwendet haben, muss diese angepasst werden.

Hier ist die Entwicklung. Wir können undBetrachten Sie nun $\beta_1Y \sim \rm{Gamma}(\alpha_2,\beta_1\beta_2)$$\beta_2X \sim \rm{Gamma} (\alpha_1,\beta_1 \beta_2).$

$$W = \frac{\beta_1Y}{\beta_1Y+\beta_2X}$$

Es ist bekannt (siehe https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution , Abschnitt "Verwandte Verteilungen und Eigenschaften"), dass eine Beta-Verteilung mit dem ersten Formparameter und dem zweiten Formparameter$W$$\alpha_2$$\alpha_1.$

Also dann

$$P \left[ W = \frac{\beta_1Y}{\beta_1Y+\beta_2X}<\frac{\beta_1}{\beta_1+\beta_2} \right]=H_{\alpha_2,\alpha_1} \left( \frac{\beta_1}{\beta_1+\beta_2} \right),$$

Dabei ist die kumulative Verteilungsfunktion einer Beta-Zufallsvariablen.$H$

Nehmen Sie die Wechselwirkungen und vereinfachen Sie

$$P \left[ W = \frac{\beta_1Y}{\beta_1Y+\beta_2X}<\frac{\beta_1}{\beta_1+\beta_2} \right]=P \left[ \frac{\beta_1Y+\beta_2X}{\beta_1Y} > \frac{\beta_1+\beta_2}{\beta_1} \right]$$

$$= P \left[ 1 + \frac{\beta_2X}{\beta_1Y}>1+\frac{\beta_2}{\beta_1} \right]=P \left[ \frac{X}{Y} >1 \right] =P \left[ X>Y \right] =H_{\alpha_2,\alpha_1} \left( \frac{\beta_1}{\beta_1+\beta_2} \right)$$

Die rote Methode zur Berechnung von ist das Doppelintegral$P[Y>X]$

$$\int_0^\infty f_X(x) dx \int_x^\infty f_Y(y) dy$$

Wo das innere Integral als Überlebensfunktion von erkannt werden kann , ist ein Exponential mit dem Parameter bei gleich . Dann das verbleibende Integral$Y$$\lambda=1$$x$$e^{-x}$

$$\int_0^\infty e^{-x} f_X(x) dx$$

kann als die Momenterzeugungsfunktion von erkannt werden, die bei bewertet wird . Der MGF von a ist , was für ist$X$$-1$$\rm{Gamma}$$(1-\theta t)^{-k}$$\theta = 3, k=3, t=-1$

$$(1+3)^{-3} = 0.015625$$

Die Frage war für , also wollen wir$P[X>Y] = 1-P[Y>X]$

$$1-(1+3)^{-3} = 1-0.015625 = 0.984375$$

was mit Soakleys Antwort übereinstimmt .