Sei eine iid-Zufallsvariable mit pdf , wobei und .
Ich habe einen Schätzer für den Parameter ( ) von als berechnet . Um zu beweisen, dass dies ein unvoreingenommener Schätzer ist, sollte ich beweisen, dass . Da jedoch , wäre es viel einfacher zu zeigen, dass
Im Allgemeinen ist das Beweisen von nicht dasselbe wie das Beweisen von x = 2 , da x auch -2 sein könnte . In diesem Fall ist jedoch \ theta> 0 .
Ich habe gezeigt, dass unvoreingenommen ist. Reicht dies aus, um zu zeigen, dass unvoreingenommen ist?
self-study
dort vorgeschlagene Tag hinzu und ändern Sie Ihre Frage, um den Richtlinien zum Stellen solcher Fragen zu folgen. Insbesondere müssen Sie klar identifizieren, was Sie getan haben, um das Problem selbst zu lösen, und die spezifische Hilfe angeben, die Sie an dem Punkt benötigen, an dem Sie auf Schwierigkeiten gestoßen sind.Antworten:
Angenommen, ist für unvoreingenommen , dh , dann wegen Jensens Ungleichung,Q. θ2 E.( Q ) =θ2
So vorgespannt ist hoch, dh es wird Überhöhung im Durchschnitt.Q.- -- -√ θ
Hinweis : Dies ist eine strikte Ungleichung (dh not ), da keine entartete Zufallsvariable und die Quadratwurzel keine affine Transformation ist.< ≤ Q.
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Beachten Sie, dass für jeden Schätzer (mit endlichem zweiten Moment) gleich ist Nur wenn (was leicht zu überprüfen ist, gilt nicht).E.(θ2ˆ) - E.(θ^)2 = Var (θ^) ≥ 0 Var (θ^) = 0
Ersetzen Sie den ersten Term auf der linken Seite dieser Ungleichung, indem Sie Ihr Ergebnis für die Unparteilichkeit von und dann die Tatsache verwenden, dass und beide positiv sind, zeigen Sie is voreingenommen, nicht unvoreingenommen, wie Sie angenommen haben. (Im Allgemeinen könnten Sie Jensens Ungleichung anwenden, aber sie wird hier nicht benötigt.)θ2ˆ θ θ^ θ^
Beachten Sie, dass sich dieser Beweis nicht auf die Einzelheiten Ihres Problems bezieht. Wenn für einen nicht negativen Schätzer eines nicht negativen Parameters sein Quadrat für das Quadrat des Parameters unverzerrt ist, muss der Schätzer selbst voreingenommen sein, es sei denn, der Die Varianz des Schätzers ist .0
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