Was ist eine Mannigfaltigkeit?

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In Dimensionalitätsreduktionstechniken wie Hauptkomponentenanalyse, LDA usw. wird häufig der Begriff Mannigfaltigkeit verwendet. Was ist eine Mannigfaltigkeit in nicht-technischer Hinsicht? Wenn ein Punkt zu einer Kugel gehört, deren Abmessung ich reduzieren möchte, und wenn es ein Rauschen gibt, und und nicht korreliert sind, dann würden die tatsächlichen Punkte aufgrund des Rauschens weit voneinander entfernt sein. Daher wäre eine Rauschfilterung erforderlich. Die Dimensionsreduktion würde also für . Gehören und hier also zu verschiedenen Mannigfaltigkeiten?xyxyxz=x+yxy

Ich arbeite an Punktwolkendaten, die häufig für die Robotervision verwendet werden. Die Punktwolken sind aufgrund von Rauschen bei der Erfassung verrauscht, und ich muss das Rauschen vor der Dimensionsreduzierung reduzieren. Andernfalls erhalte ich eine falsche Größenreduzierung. Also, was ist die Mannigfaltigkeit hier und ist Rauschen ein Teil derselben Mannigfaltigkeit, zu der gehört?x

Ria George
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Es ist nicht wirklich möglich, den Begriff richtig zu verwenden, ohne mathematisch genau zu sein
Chill2Macht

Antworten:

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Nicht technisch ausgedrückt ist eine Mannigfaltigkeit eine kontinuierliche geometrische Struktur mit endlicher Dimension: eine Linie, eine Kurve, eine Ebene, eine Oberfläche, eine Kugel, eine Kugel, ein Zylinder, ein Torus, ein "Blob" ... so etwas : Bildbeschreibung hier eingeben

Es ist ein allgemeiner Begriff, der von Mathematikern verwendet wird, um "eine Kurve" (Dimension 1) oder "Oberfläche" (Dimension 2) oder ein 3D-Objekt (Dimension 3) ... für jede mögliche endliche Dimension zu sagen . Eine eindimensionale Mannigfaltigkeit ist einfach eine Kurve (Linie, Kreis ...). Ein zweidimensionaler Verteiler ist einfach eine Fläche (Ebene, Kugel, Torus, Zylinder ...). Eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit ist ein "volles Objekt" (Kugel, voller Würfel, der 3D-Raum um uns herum ...).n

Eine Mannigfaltigkeit wird oft durch eine Gleichung beschrieben: Die Menge von Punkten wie ist eine eindimensionale Mannigfaltigkeit (ein Kreis).(x,y)x2+y2=1

Ein Verteiler hat überall die gleiche Dimension. Wenn Sie beispielsweise eine Linie (Dimension 1) an eine Kugel (Dimension 2) anhängen, ist die resultierende geometrische Struktur keine Mannigfaltigkeit.

Im Gegensatz zu den allgemeineren Begriffen des metrischen Raums oder des topologischen Raums, die auch unsere natürliche Intuition einer kontinuierlichen Menge von Punkten beschreiben sollen, soll eine Mannigfaltigkeit lokal einfach sein: wie ein Vektorraum mit endlicher Dimension: . Dies schließt abstrakte Räume (wie Räume mit unendlichen Dimensionen) aus, die häufig keine geometrische konkrete Bedeutung haben.Rn

Im Gegensatz zu einem Vektorraum können Verteiler verschiedene Formen haben. Einige Mannigfaltigkeiten können leicht visualisiert werden (Kugel, Kugel ...), andere sind schwer zu visualisieren, wie die Klein-Flasche oder die reale projektive Ebene .

In der Statistik, beim maschinellen Lernen oder in der angewandten Mathematik wird das Wort "Mannigfaltigkeit" oft verwendet, um "wie ein linearer Unterraum" zu sagen, aber möglicherweise gekrümmt. Jedes Mal, wenn Sie eine lineare Gleichung wie folgt schreiben: Sie einen linearen (affinen) Unterraum (hier eine Ebene). Wenn die Gleichung nicht linear ist wie x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 7 , ist dies normalerweise eine Mannigfaltigkeit (hier eine gestreckte Kugel).3x+2y4z=1x2+2y2+3z2=7

Zum Beispiel sagt die " Mannigfaltigkeitshypothese " von ML "hochdimensionale Daten sind Punkte in einer niedrigdimensionalen Mannigfaltigkeit mit hinzugefügtem hochdimensionalem Rauschen". Sie können sich Punkte eines 1D-Kreises mit etwas 2D-Rauschen vorstellen. Während die Punkte nicht genau auf dem Kreis liegen, erfüllen sie statistisch die Gleichung . Der Kreis ist die zugrunde liegende Mannigfaltigkeit: x2+y2=1https://i.stack.imgur.com/iEm2m.png

Benoit Sanchez
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@RiaGeorge Auf dem Bild ist es die Oberfläche , die vielfältig ist. Es ist durchgehend, da Sie sich ohne Unterbrechung frei bewegen können und niemals von der Oberfläche springen müssen , um zwischen zwei Orten zu gelangen. Die Löcher, auf die Sie anspielen, sind wichtig, um zu beschreiben, wie Sie sich auf einfachste Weise auf der Oberfläche zwischen zwei beliebigen Punkten bewegen können. Das Zählen dieser Löcher ist eine wichtige Technik beim Studium von Mannigfaltigkeiten.
Matthew Drury
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Zu erklären, was Topologie ist, wäre eine viel zu breite Frage für diese Site und ein wenig abseits des Themas. Ich würde den Mathematikstapel nach Informationen darüber durchsuchen. Mannigfaltigkeiten und Topologie sind keine Synonyme: Mannigfaltigkeiten sind mathematische Objekte, die mit den Techniken der Topologie untersucht wurden, Topologie ist ein Unterfach der Mathematik.
Matthew Drury
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In der Antwort fehlen alle grundlegenden Punkte, die eine Mannigfaltigkeit ausmachen. Ich verstehe nicht, wie viele positive Stimmen sie hat. Topologie, Diagramme und Glätte werden nicht einmal erwähnt, und die Antwort vermittelt im Grunde den Eindruck, dass eine Mannigfaltigkeit eine Oberfläche ist, die es nicht ist .
Gented
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Technisch gesehen muss die Lösungsmenge eines Gleichungssystems nicht vielfältig sein. Da es sich um eine Sorte handelt, handelt es sich meistens um eine Mannigfaltigkeit. Es kann jedoch auch Punkte geben, an denen sich die Mannigfaltigkeitseigenschaft überschneidet.
Matt Samuel
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Ihre Mannigfaltigkeitsdefinition beinhaltet die Anforderung, endlich dimensioniert zu sein . Sie fügen jedoch Beispiele hinzu, die diese Anforderung nicht erfüllen, z. B. Linien, Ebenen, Kurven und Flächen. Könnten Sie bitte klarstellen, was Sie meinten?
Mowzer
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M

Rnn

nci:MRc:MRn

RNNn

Man beachte, dass man, um "Struktur" hier genau zu machen, grundlegende Begriffe der Topologie ( def. ) Verstehen muss , die es einem erlauben, genaue Begriffe des "lokalen" Verhaltens und damit "lokal" oben zu machen. Wenn ich "äquivalent" sage, meine ich eine äquivalente topologische Struktur ( homöomorph ), und wenn ich "strukturerhaltend" sage, meine ich dasselbe (schafft eine äquivalente topologische Struktur).

Beachten Sie auch, dass man zum Berechnen von Mannigfaltigkeiten eine zusätzliche Bedingung benötigt, die sich nicht aus den beiden oben genannten Bedingungen ergibt. Diese besagt im Grunde genommen, dass die Diagramme gut genug sind, um das Berechnen zu ermöglichen. Dies sind die in der Praxis am häufigsten verwendeten Verteiler. Im Gegensatz zu allgemeinen topologischen Mannigfaltigkeiten ermöglichen sie neben der Berechnung auch Triangulationen , was bei Anwendungen wie Ihren, die Punktwolkendaten verwenden, sehr wichtig ist .

Beachten Sie, dass nicht alle Personen dieselbe Definition für eine (topologische) Mannigfaltigkeit verwenden. Mehrere Autoren werden definieren, dass es nur die obige Bedingung (1) erfüllt , nicht notwendigerweise auch (2). Die Definition, die sowohl (1) als auch (2) erfüllt, verhält sich jedoch viel besser und ist daher für Praktiker nützlicher. Man könnte intuitiv erwarten, dass (1) (2) impliziert, aber tatsächlich nicht.

Rn

Chill2Macht
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Vielen Dank für Ihre Antwort: Können Sie bitte erläutern, was eine Topologie auch in nichttechnischen Begriffen ist? Wird der Begriff Topologie und Mannigfaltigkeit synonym verwendet? Muss die Dimension eine Ganzzahl sein? Was ist es ist eine reelle Zahl, dann denke ich, dass die Struktur als Fraktale bezeichnet wird, wenn die gesamte Struktur aus jedem Teil besteht, der sich selbst wiederholt.
Ria George
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n1N
@RiaGeorge Die Axiome für eine "Topologie" finden Sie auf der Wikipedia-Seite: en.wikipedia.org/wiki/General_topology#A_topology_on_a_set - beachten Sie auch, dass ich Ihnen den Link für die (äquivalente) Definition von "Topologie" in Begriffen gab die Nachbarschaft etwas im Zusammenhang wies aber nicht das gleiche, ich meine Antwort bearbeitet habe diese zu reflektieren: en.wikipedia.org/wiki/... jedoch zu beachten , dass die Definition in Bezug auf den Nachbarschaften schwieriger zu verstehen (ich denke , ich könnte es verstehen gut, aber ich
störe
Meine persönliche voreingenommene Meinung ist also, dass Sie die Nachbarschaftsdefinition der Topologie nicht kennen müssen - Sie müssen nur wissen, dass die einfachere Definition Ihnen die gleiche Kraft der Nachbarschaftsdefinition in Bezug auf die rigorose Beschreibung des lokalen Verhaltens gibt, da dies der Fall ist Äquivalent). Wenn Sie sich für Fraktale interessieren, finden Sie diese Wikipedia-Seiten vielleicht interessant - ich kann Ihnen jedoch nicht weiterhelfen, da ich mit der Theorie nicht tief vertraut bin und die meisten von ihnen nicht kenne oder verstehe Definitionen - Ich habe nur von einigen gehört
Chill2Macht
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Dies ist die bisher einzige Antwort, die sich mit der modernen mathematischen Idee befasst, ein globales Objekt aus lokalen Daten zusammenzusetzen. Leider ist es nicht ganz so einfach und übersichtlich, wie es für einen "nicht-technischen" Account erforderlich ist.
Whuber
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In diesem Zusammenhang ist der Begriff Mannigfaltigkeit richtig, aber unnötig hochfalutin. Technisch gesehen ist eine Mannigfaltigkeit jeder Raum (Punktmenge mit einer Topologie), der ausreichend glatt und stetig ist (auf eine Weise, die mit einigem Aufwand mathematisch genau definiert werden kann).

Stellen Sie sich den Raum aller möglichen Werte Ihrer ursprünglichen Faktoren vor. Nach einer Dimensionsreduktionstechnik sind nicht alle Punkte in diesem Raum erreichbar. Stattdessen sind nur Punkte auf einem eingebetteten Unterraum in diesem Raum erreichbar. Dieser eingebettete Unterraum erfüllt zufällig die mathematische Definition einer Mannigfaltigkeit. Bei einer linearen Dimensionsreduktionstechnik wie PCA ist dieser Unterraum nur ein linearer Unterraum (z. B. eine Hyperebene), bei dem es sich um eine relativ triviale Mannigfaltigkeit handelt. Bei einer nichtlinearen Dimensionsreduktionstechnik könnte dieser Unterraum jedoch komplizierter sein (z. B. eine gekrümmte Hyperfläche). Für Datenanalysezwecke ist das Verständnis, dass dies Teilräume sind, viel wichtiger als jede Schlussfolgerung, die Sie daraus ziehen würden, dass sie die Definition von Mannigfaltigkeit erfüllen.

David Wright
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"Highfalutin" ... hat heute ein neues Wort gelernt!
Mehrdad
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Mathematisch gesehen ist eine Mannigfaltigkeit ein lokal zusammenhängender topologischer Raum. Ich mag die Idee, Dinge im Klartext zu erklären, aber diese Charakterisierung funktioniert wirklich nicht. Zunächst einmal ist Kontinuität immer eine lokale Eigenschaft, daher bin ich mir nicht sicher, was Sie unter lokal kontinuierlich verstehen. Außerdem schließt Ihre Definition viele Dinge nicht aus, die nicht mannigfaltig sind, wie die rationale Zahlengerade oder die Vereinigung zweier sich überschneidender Geraden in der euklidischen Ebene.
Ben Crowell
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Ich stimme Ben zu, technisch gesehen ist es "lokal euklidisch". Ich bin mir nicht sicher, ob es einen guten Weg gibt, das auf einfaches Englisch zu bringen.
Matthew Drury
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Ich muss den beiden obigen Kommentaren ebenfalls zustimmen. Tatsächlich sollte die Antwort, die ich unten schrieb, ursprünglich ein klarer Kommentar zu dieser Antwort sein, der zu lang wurde. Es gibt keine genaue Vorstellung von einem "kontinuierlichen" topologischen Raum (siehe hier: math.stackexchange.com/questions/1822769/… ). Die Definition von Mannigfaltigkeiten in Bezug auf nicht existierende Konzepte ist meiner Meinung nach auf lange Sicht eher verwirrend als klarstellend. Zumindest würde ich vorschlagen, das Wort "mathematisch" im ersten Satz durch etwas anderes zu ersetzen.
Chill2Macht
Ich werde diesen Kommentar als Gelegenheit nutzen, um eine kleine Frage zu stellen ... Ich (glaube), ich habe die Idee von Mannigfaltigkeiten, aber warum wird es "lokal" benötigt? Ist ein Raum nicht "lokal" kontinuierlich ... kontinuierlich als Ganzes?
Paul92