Was ist die Definition einer symmetrischen Verteilung?

Was ist die Definition einer symmetrischen Verteilung? Jemand hat mir erzählt, dass eine Zufallsvariable genau dann aus einer symmetrischen Verteilung stammt, wenn und dieselbe Verteilung haben. Aber ich denke, diese Definition ist teilweise richtig. Weil ich ein Gegenbeispiel und . Offensichtlich hat es eine symmetrische Verteilung, aber und haben unterschiedliche Verteilungen! Habe ich recht? Denkst du jemals über diese Frage nach? Was ist die genaue Definition der symmetrischen Verteilung? $X$ $X$ $-X$ $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$ $\mu\neq0$ $X$ $-X$

distributions definition symmetry shijing SI
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Wenn Sie sagen, eine "Verteilung ist symmetrisch", müssen Sie angeben, welcher Punkt symmetrisch ist. Bei der von Ihnen angegebenen Normalverteilung ist die Symmetrie um . In diesem Fall haben und die gleiche Verteilung. In Bezug auf die Dichte kann dies ausgedrückt werden als: ist symmetrisch um wenn . Übrigens ist es gut, Antworten anzunehmen, wenn Sie mit einem von ihnen zufrieden sind.

μ

$\mu$

X - μ

$X-\mu$

- (X - μ)

$-(X-\mu)$

f

$f$

μ

$\mu$

f (μ - x) = f (μ + x)

$f(\mu-x)=f(\mu+x)$

Ja, wir haben über diese Frage nachgedacht. Symmetrisch bedeutet im Allgemeinen symmetrisch um , und um weitere Gegenbeispiele zu verhindern, ist die Behauptung, dass Verteilungen symmetrisch sind, nicht etwas, was für die Funktion der kumulativen Wahrscheinlichkeitsverteilung zutrifft . Ihr "Gegenbeispiel" hat Symmetrie um den Punkt , nicht um den Punkt .

0

$0$

μ \neq 0

$\mu \neq 0$

0

$0$

Dilip Sarwate

@Dilip Wenn eine Definition von einer Art der Beschreibung von etwas abhängt, aber gezeigt werden kann, dass diese Definition eine inhärente Eigenschaft von etwas ist, macht es keinen Sinn, die Definition auf eine andere Form der Beschreibung anzuwenden . In diesem Fall ist Symmetrie eine Eigenschaft einer Distribution. Dies bedeutet jedoch nicht, dass alle Beschreibungen dieser Distribution (einschließlich PDF und CDF) auf die gleiche Weise "symmetrisch" sein müssen. Indem Sie die Symmetrie der PDF-Datei auf die CDF anwenden, wird die Frage durch Ihren Kommentar eher verwirrt als geklärt.

whuber

shijing, @Procrastinator hat festgestellt, dass Sie viele Fragen gestellt haben, ohne eine Antwort zu akzeptieren. Das lässt vermuten, dass Sie mit der Funktionsweise dieser Website nicht vertraut sind. Lesen Sie bitte den entsprechenden Teil unserer FAQ vollständig durch , um Missverständnisse auszuräumen . Es wird nur ein paar Minuten dauern und die Befolgung dieser Anleitung wird den Wert unserer Website für Sie steigern.

whuber

@whuber Die CDF ist einer der wenigen Beschreibungen , in denen das Wort Verteilung tatsächlich auftritt im Namen, und ich habe versucht zu klären , dass die Symmetrieeigenschaft nicht für die CDF halten hat.

Dilip Sarwate

Antworten:

Kurz: ist symmetrisch, wenn und für eine reelle Zahl die gleiche Verteilung haben . $X$ $X$ $2a-X$ $a$ Um dies jedoch auf eine völlig gerechtfertigte Weise zu erreichen, sind einige Exkursionen und Verallgemeinerungen erforderlich, da sich viele implizite Fragen stellen: Warum diese Definition von "symmetrisch"? Kann es andere Arten von Symmetrien geben? Wie ist die Beziehung zwischen einer Verteilung und ihren Symmetrien und umgekehrt, wie ist die Beziehung zwischen einer "Symmetrie" und solchen Verteilungen, die diese Symmetrie haben könnten?

Die fraglichen Symmetrien sind Reflexionen der realen Linie. Alle sind von der Form

x \to 2 ein - x

$x \to 2a-x$

für eine Konstante . $a$

Angenommen, hat diese Symmetrie für mindestens eins . Dann impliziert die Symmetrie $X$ $a$

Pr [X \geq ein] = Pr [2 ein - X \geq ein] = Pr [X \leq ein]

$\Pr[X \ge a] = \Pr[2a-X \ge a] = \Pr[X \le a]$

zeigt, dass ein Median von . In ähnlicher Weise folgt , wenn eine Erwartung hat, sofort, dass . Somit können wir in der Regel leicht festmachen. Auch wenn nicht, ist (und damit die Symmetrie selbst) immer noch eindeutig bestimmt (falls überhaupt vorhanden). $a$ $X$ $X$ $a = E[X]$ $a$ $a$

Um dies zu sehen, sei ein Symmetriezentrum. Wenn wir dann beide Symmetrien anwenden, sehen wir, dass unter der Übersetzung invariant ist . Wenn , muss die Verteilung von eine Periode von , was unmöglich ist, da die Gesamtwahrscheinlichkeit einer periodischen Verteilung entweder oder unendlich ist. Somit ist , was zeigt, dass eindeutig ist. $b$ $X$ $x \to x + 2(b-a)$ $b-a \ne 0$ $X$ $b-a$ $0$ $b-a=0$ $a$

Allgemeiner kann man sagen , wenn eine Gruppe ist, die auf der realen Linie (und in Erweiterung auf alle ihre Borel-Teilmengen) treu handelt, dass eine Verteilung "symmetrisch" (in Bezug auf ) ist, wenn $G$ $X$ $G$

Pr [X \in E] = Pr [X \in E^{G}]

$\Pr[X \in E] = \Pr[X \in E^g]$

für alle messbaren Mengen und Elemente , wobei das Bild von unter der Wirkung von . $E$ $g \in G$ $E^g$ $E$ $g$

Als Beispiel sei immer noch eine Gruppe der Ordnung , aber nun gehe es darum, den Kehrwert einer reellen Zahl zu nehmen (und bestimmen ). Der Standard lognormal Verteilung ist in Bezug auf diese Gruppe symmetrisch. Dieses Beispiel kann als Beispiel einer Reflexionssymmetrie verstanden werden, bei der eine nichtlineare Neuausdruckung der Koordinaten stattgefunden hat. Dies legt nahe, sich auf Transformationen zu konzentrieren, die die "Struktur" der realen Linie berücksichtigen. Die für die Wahrscheinlichkeit wesentliche Struktur muss in Beziehung zu Borel-Mengen und Lebesgue-Maß stehen, die beide als (euklidischer) Abstand zwischen zwei Punkten definiert werden können. $G$ $2$ $0$

Eine entfernungserhaltende Karte ist per Definition eine Isometrie. Es ist bekannt (und leicht, wenn auch ein wenig umständlich zu demonstrieren), dass alle Isometrien der realen Linie durch Reflexionen erzeugt werden. Wenn verstanden wird, dass "symmetrisch" symmetrisch in Bezug auf eine Gruppe von Isometrien bedeutet , muss die Gruppe durch höchstens eine Reflexion erzeugt werden, und wir haben gesehen, dass die Reflexion durch jede symmetrische Verteilung in Bezug darauf eindeutig bestimmt wird . In diesem Sinne ist die vorstehende Analyse erschöpfend und rechtfertigt die übliche Terminologie von "symmetrischen" Verteilungen.

Übrigens ergibt sich eine Vielzahl multivariater Beispiele für Verteilungen, die unter Gruppen von Isometrien invariant sind, wenn "sphärische" Verteilungen berücksichtigt werden. Diese sind bei allen Umdrehungen (relativ zu einem festen Mittelpunkt) unveränderlich. Diese verallgemeinern den eindimensionalen Fall: Die "Rotationen" der realen Linie sind nur die Reflexionen.

Schließlich ist darauf hinzuweisen, dass eine Standardkonstruktion - gemittelt über die Gruppe - eine Möglichkeit bietet, Lasten symmetrischer Verteilungen zu erzeugen. Bei der reellen Linie sei durch die Reflexion um einen Punkt , so dass es aus dem Identitätselement und dieser Reflexion . Sei eine beliebige Verteilung. Definieren Sie die Verteilung durch Setzen $G$ $a$ $e$ $g$ $X$ $Y$

{Pr}_{Y} [E] = \frac{1}{| G |} \sum_{g \in G} {Pr}_{X} [E^{g}] = ({Pr}_{X} [E] + {Pr}_{X} [E^{g}]) / 2

${\Pr}_Y[E] = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} {\Pr}_X[E^g] = ({\Pr}_X[E] + {\Pr}_X[E^g])/2$

für alle Borel - Sets . Dies ist offensichtlich symmetrisch und es ist leicht zu überprüfen, ob es eine Verteilung bleibt (alle Wahrscheinlichkeiten bleiben nicht negativ und die Gesamtwahrscheinlichkeit ist ). $E$ $1$

Gamma

Zur Veranschaulichung des Gruppenmittelungsprozesses ist das PDF einer symmetrisierten Gamma-Verteilung (zentriert bei ) in Gold dargestellt. Das ursprüngliche Gamma ist blau und die Reflexion rot. $a=2$

whuber
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(+1) Ich möchte hinzufügen, dass in der multivariaten Einstellung die Definition der Symmetrie nicht eindeutig ist. In diesem Buch gibt es 8 mögliche Definitionen für symmetrische multivariate Verteilungen.

@Procrastinator Ich bin gespannt, was Sie unter "nicht eindeutig" verstehen. AFAIK, alles, was den Namen "Symmetrie" rechtfertigt, bezieht sich letztendlich auf eine Gruppenaktion auf einem Raum. Es wäre interessant zu sehen, welche unterschiedlichen Arten von Aktionen Statistiker als nützlich empfunden haben. Könnten Sie ein kurzes Beispiel für zwei wirklich unterschiedliche Arten von Symmetrie geben, die in diesem Buch berücksichtigt werden, da dieses Buch vergriffen und nicht im Internet verfügbar ist?

whuber

Ihre Intuition ist richtig, dies hängt mit statistischen Merkmalen zusammen: Zentralsymmetrie

; Sphärische Symmetrie

für alle orthogonale Matrix

. Ich kann mich nicht an den Rest erinnern, aber ich werde versuchen, das Buch an diesen Tagen auszuleihen. In diesem Link finden Sie einige davon.

X - μ \overset{d}{=} - (X - μ)

${\bf X}-\mu\stackrel{d}{=}-({\bf X}-\mu)$

X - μ \overset{d}{=} O (X - μ)

$X-\mu\stackrel{d}{=}{\bf O}({\bf X}-\mu)$

O

${\bf O}$

@ Procrastinator Vielen Dank. Beachten Sie, dass die beiden von Ihnen angebotenen Beispiele Spezialfälle der von mir angegebenen allgemeinen Definition sind: Die zentrale Symmetrie erzeugt eine Isometriegruppe mit zwei Elementen, und die sphärischen Symmetrien sind auch eine Untergruppe aller Isometrien. Die "elliptische Symmetrie" in der Verknüpfung ist eine sphärische Symmetrie nach einer affinen Transformation und veranschaulicht so das Phänomen, auf das ich mit dem lognormalen Beispiel hingewiesen habe. Die "Winkelsymmetrien" bilden wiederum eine Gruppe von Isometrien. Die "Halbraumsymmetrie" ist keine Symmetrie, sondern erlaubt diskrete Abweichungen davon: das ist neu.

whuber

Die Antwort hängt davon ab, was Sie unter Symmetrie verstehen. In der Physik ist der Begriff der Symmetrie grundlegend und sehr allgemein geworden. Symmetrie ist jede Operation, die das System unverändert lässt. Im Fall einer Wahrscheinlichkeitsverteilung könnte dies in eine beliebige Operation , die die gleiche Wahrscheinlichkeit zurückgibt . $X \to X'$ $P(X) = P(X')$

Im einfachen Fall des ersten Beispiels beziehen Sie sich auf die Reflexionssymmetrie um das Maximum. Wenn die Verteilung sinusförmig wäre, könnten Sie die Bedingung , wobei die Wellenlänge oder Periode ist. Dann ist und würde immer noch zu einer allgemeineren Definition der Symmetrie passen. $X \to X + \lambda$ $\lambda$ $P(X) = P(X + \lambda)$

Michael Hoffman
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