Wie berechnet man einen partiellen Erwartungswert der Beta-Verteilung (Mittelwert eines abgeschnittenen Beta)?

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Beta-Verteilung mit a = 2, b = 3, Perzentil x = 0,4

Bei einer Beta-Verteilung mit a = 2, b = 3 können wir einen erwarteten Wert (Mittelwert) für das Intervall [0, 1] = a / (a ​​+ b) = 2/5 = 0,4 und den Median = (a - finden) 1/3) / (a ​​+ b-2/3) = 0,39, die nahe beieinander liegen.

Ich suche nach einer Lösung in Python. Ich kann scipy.stats.beta verwenden , um den Median für das Intervall [0, 0,4] mit der Prozentpunktfunktion (invers zu cdf - Perzentilen) zu berechnen:

beta.ppf(0.4/2,a,b) = 0.2504

Da für diese Beta-Verteilung der Gesamtmittelwert und der Median nahe beieinander liegen (0,4 bzw. 0,39), verwende ich den Median für das Intervall [0, 0,4], um die erwarteten Werte (Mittelwert) für das Intervall [0, 0,4] zu schätzen.

Gibt es eine Möglichkeit, erwartete Werte (Mittelwert) für das Intervall [0, 0,4] zu berechnen?

Arbi Haza Nasution
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In der Regel sollten Sie einen Berechnungsfehler in Ihrer Frage, der in einer Antwort erläutert wird, nicht korrigieren, da Sie die Antwort "brechen" - die Korrektur in der Antwort ist nicht mehr sinnvoll. (Andererseits ist es eine andere Sache, eine in Kommentaren angebotene Korrektur vorzunehmen.) --- Ich versuche, meine Antwort anzupassen, um dies zu kompensieren, aber solche Fehler bleiben normalerweise am besten unverändert.
Glen_b -Reinstate Monica
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Das tut mir leid. Ich kannte eine solche Regel nicht.
Arbi Haza Nasution

Antworten:

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Beachten Sie, dass die Formel, die Sie dort oben für den Beta-Median haben ( ), ungefähr ist. Sie sollten in der Lage sein, einen effektiv "exakten" numerischen Median mit dem inversen cdf (Quantilfunktion) der Beta-Verteilung in Python zu berechnen (für ein erhalte ich einen Median von ungefähr während dieser ungefähr ist Formel ergibt ).α13α+β23beta(2,3)0.38570.3846

Dieser Mittelwert einer abgeschnittenen Distribution ist mit einer Beta ziemlich einfach. Für eine positive Zufallsvariable haben wir

E(X|X<k)=0kxf(x)dx/0kf(x)dx

wobei in diesem Fall die Dichte einer Beta mit den Parametern und (die ich jetzt als schreibe ):fαβf(x;α,β)

f(x;α,β)=1B(α,β)xα1(1x)β1,0<x<1,α,β>0

Daher istxf(x)=B(α+1,β)B(α,β)f(x;α+1,β)=αα+βf(x;α+1,β)

Also istE(X|X<k)=αα+β0kf(x;α+1,β)dx/0kf(x;α,β)dx

Jetzt sind die beiden Integrale nur noch Beta-CDFs, die Sie bereits in Python verfügbar haben.

Mit wir . Dies steht im Einklang mit der Simulation ( Simulationen ergaben ).α=2,β=3,k=0.4E(X|X<0.4)0.241951060.24194

Für den Median erhalte ich , was wiederum mit der Simulation übereinstimmt ( Simulationen ergaben ).F1(12F(0.4;2,3);2,3)0.250401060.25038

Die beiden sind sich in diesem Fall ziemlich nahe, aber das ist kein allgemeines Ergebnis. Sie können manchmal wesentlich unterschiedlicher sein.

Glen_b -State Monica
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Vielen Dank für Ihre ausführliche Erklärung. Ich hätte hier vor Wochen fragen sollen!
Arbi Haza Nasution