Können wir aus

Ein interessantes Gegenbeispiel finden Sie beispielsweise unter https://en.wikipedia.org/wiki/Subindependence . Die eigentliche Frage ist jedoch: Gibt es eine Möglichkeit, den Zustand zu stärken, damit die Unabhängigkeit folgt? Gibt es zum Beispiel einen Satz von Funktionen so dass, wenn für alle $g_1, \dotsc, g_n$ $\E g_i(X) g_j(Y) =\E g_i(X) \E g_j(Y)$ $i,j$ dann folgt die Unabhängigkeit? Und wie groß muss eine solche Menge von Funktionen sein, unendlich?

Und gibt es darüber hinaus eine gute Referenz, die diese Frage behandelt?

probability mathematical-statistics references random-variable independence kjetil b halvorsen
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Hast du Glück damit gehabt? Ich würde gerne sehen, ob es einen endlichen Satz von Funktionen gibt, die für jedes Paar von Wohnmobilen funktionieren, und insbesondere die Rechtfertigung ist etwas anderes als die CDF-Faktorisierung

jld

Ich werde es mir ansehen! Ich bezweifle, dass es im Allgemeinen eine endliche Menge gibt, aber jede Menge, die einer linearen Menge von Funktionen zugrunde liegt, sollte dies tun (wenn beispielsweise

beide Werte in

dann eine Menge von

linear unabhängigen Polynomen (oder anderen) Funktionen sollte tun.

X, Y

$X, Y$

0, 1, 2, \dots, n

$0,1,2,\dotsc,n$

n + 1

$n+1$

kjetil b halvorsen

Antworten:

$(\Omega, \mathscr F, P)$ $X, Y :\Omega \to \mathbb R$ $\sigma$ $S_X := \sigma(X)$ $S_Y := \sigma(Y)$ $\forall A \in S_X, B \in S_Y$ $P(A \cap B) = P(A)P(B)$

$g_a(x) = I(x \leq a)$ $G = \{g_a : a \in \mathbb Q\}$ $\mathbb Q$

E (g_{a} (X) g_{b} (Y)) = E (I (X \leq a) I (Y \leq b)) = E (I (X \leq a, Y \leq b)) = P (X \leq a \cap Y \leq b)

$E\left(g_a(X)g_b(Y)\right) = E(I(X \leq a)I(Y \leq b)) = E(I(X \leq a, Y \leq b)) = P(X \leq a \cap Y \leq b)$

E (g_{a} (X)) E (g_{b} (Y)) = P (X \leq a) P (Y \leq b) .

$E(g_a(X))E(g_b(Y)) = P(X \leq a)P(Y \leq b).$

$\forall a, b \in \mathbb Q$

P (X \leq a \cap Y \leq b) = P (X \leq a) P (Y \leq b)

$P(X \leq a \cap Y \leq b) = P(X \leq a)P(Y \leq b)$

π - λ

$\pi-\lambda$

P (A \cap B) = P (A) P (B) \forall A \in S_{X}, B \in S_{Y}

$P(A \cap B) = P(A)P(B) \hspace{5mm} \forall A \in S_X, B \in S_Y$

X ⊥ Y

$X \perp Y$

Wenn ich also keinen Fehler gemacht habe, haben wir zumindest eine zählbare Sammlung solcher Funktionen, und dies gilt für jedes Paar von Zufallsvariablen, die über einen gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum definiert sind.

jld
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X

$X$

Y

$Y$

@whuber Ich habe versucht, die Frage zu beantworten, ob es überhaupt eine solche Sammlung von Funktionen gibt oder nicht. Ich bin damit einverstanden, dass der interessantere Aspekt darin besteht, ein minimales solches Set zu finden (an dem ich noch arbeite)

Uhr

G

$G$

a

$a$

@grand_chat großer Punkt, ich habe aktualisiert

jld