In den meisten grundlegenden Kursen zur Wahrscheinlichkeitstheorie sind Ihre Funktionen zur Erzeugung des angegebenen Moments (mgf) nützlich, um die Momente einer Zufallsvariablen zu berechnen. Insbesondere die Erwartung und Varianz. In den meisten Kursen können die Beispiele für Erwartung und Varianz mithilfe der Definitionen analytisch gelöst werden.
Gibt es Beispiele für Verteilungen im wirklichen Leben, bei denen es schwierig ist, die Erwartung und Varianz analytisch zu finden, und daher die Verwendung von mgf erforderlich war? Ich frage, weil ich das Gefühl habe, nicht genau zu verstehen, warum sie in den Grundkursen wichtig sind.
Es gibt viele Probleme, bei denen es schwierig ist, den Mittelwert und die Varianz unter Verwendung ihrer Standardformeln als Summe / Integral über die Masse / Dichte zu finden. Ein Beispiel, bei dem dies schwierig, aber nicht unmöglich ist, ist die Verteilung des Couponsammlers , die eine Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion hat:
wobei die Funktion die Stirling-Zahlen der zweiten Art bezeichnet . Wenn Sie versuchen, die Standardmethode hier zu verwenden, erhalten Sie eine rekursive Formel mit den Stirling-Zahlen. Die Arbeit mit dieser Methode ist umständlich. Eine einfachere Methode, um den Mittelwert und die Varianz zu erhalten, besteht darin, die kumulative Erzeugungsfunktion (Logarithmus der Momenterzeugungsfunktion) abzuleiten, die die Stirling-Zahlen nicht mehr enthält. Es ist dann relativ einfach, die Kumulanten der Verteilung zu erhalten. Ich empfehle Ihnen, diese Übung mit beiden Methoden auszuprobieren, um zu sehen, was ich meine.S.
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