Ich bin auf eine Interviewfrage gestoßen:
Es gibt einen roten Zug, der alle 10 Minuten kommt. Alle 15 Minuten fährt ein blauer Zug. Beide starten von einer zufälligen Zeit, so dass Sie keinen Zeitplan haben. Wenn Sie zu einer beliebigen Zeit am Bahnhof ankommen und in einen Zug einsteigen, der als erster kommt, wie lange ist die erwartete Wartezeit?
probability
random-variable
expected-value
Shengjie Zhang
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Antworten:
Eine Möglichkeit, sich dem Problem zu nähern, besteht darin, mit der Überlebensfunktion zu beginnen. Um mindestens Minuten warten zu müssen, müssen Sie mindestens t Minuten auf den roten und den blauen Zug warten . Die Gesamtüberlebensfunktion ist also nur das Produkt der einzelnen Überlebensfunktionen:t t
was für0≤t≤10 die Wahrscheinlichkeit, dass Sie mindestens Minuten auf den nächsten Zug warten müssen . Dies berücksichtigt die Klarstellung des OP in einer Bemerkung, dass die richtigen Annahmen zu treffen sind, dass sich jeder Zug auf einem festen Fahrplan befindet, der unabhängig vom anderen und von der Ankunftszeit des Reisenden ist, und dass die Phasen der beiden Züge gleichmäßig verteilt sind ,t
Dann erhält man das pdf als
Und der erwartete Wert wird auf die übliche Weise erhalten:
,E[t]=∫100tp(t)dt=∫100t10(1−t15)+t15(1−t10)dt=∫100(t6−t275)dt
das klappt bis Minuten.359
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Die Antwort lautet Holendie Teile in den Klammern: ∫y<xydy=y2/2| x 0 =x2/2∫y>xxdy=xy| 15 x =15x-x2 Der Teil ist also: (.)=(∫y<xydy+
Hier ist der zu simulierende MATLAB-Code:
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Assuming each train is on a fixed timetable independent of the other and of the traveller's arrival time, the probability neither train arrives in the firstx minutes is 10−x10×15−x15 for 0≤x≤10 , which when integrated gives 359≈3.889 minutes
Alternatively, assuming each train is part of a Poisson process, the joint rate is115+110=16 trains a minute, making the expected waiting time 6 minutes
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I am probably wrong but assuming that each train's starting-time follows a uniform distribution, I would say that when arriving at the station at a random time the expected waiting time for:
As pointed out in comments, I understood "Both of them start from a random time" as "the two trains start at the same random time". Which is a very limiting assumption.
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Suppose that red and blue trains arrive on time according to schedule, with the red schedule beginningΔ minutes after the blue schedule, for some 0≤Δ<10 . For definiteness suppose the first blue train arrives at time t=0 .
Assume for now thatΔ lies between 0 and 5 minutes. Between t=0 and t=30 minutes we'll see the following trains and interarrival times: blue train, Δ , red train, 10 , red train, 5−Δ , blue train, Δ+5 , red train, 10−Δ , blue train. Then the schedule repeats, starting with that last blue train.
IfWΔ(t) denotes the waiting time for a passenger arriving at the station at time t , then the plot of WΔ(t) versus t is piecewise linear, with each line segment decaying to zero with slope −1 . So the average wait time is the area from 0 to 30 of an array of triangles, divided by 30 . This gives
IfΔ is not constant, but instead a uniformly distributed random variable, we obtain an average average waiting time of
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This is a Poisson process. The red train arrives according to a Poisson distribution wIth rate parameter 6/hour.
The blue train also arrives according to a Poisson distribution with rate 4/hour. Red train arrivals and blue train arrivals are independent. Total number of train arrivals Is also Poisson with rate 10/hour. Since the sum of The time between train arrivals is exponential with mean 6 minutes. Since the exponential mean is the reciprocal of the Poisson rate parameter. Since the exponential distribution is memoryless, your expected wait time is 6 minutes.
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