Die Wahrscheinlichkeit von k Nullen ergibt die Summe von n Poisson-Zufallsvariablen ist t?

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Angenommen, ich habe X1,X2,X3,...Xn iid Zufallsvariablen aus einer Poisson-Verteilung von Parametern λ. Angesichts dessenX1+X2+X3+...+Xn=t, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau k von X1,X2,X3,...Xn sind Null?

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Mein Ansatz: Ich begann mit der Betrachtung der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion wo X1+X2+X3+...+Xn=t und k von X1,X2,X3,...Xnist Null, aber ich weiß nicht, wie ich von hier aus vorgehen soll. Wenn ich ein Binomialmodell verwende, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass k eine Anzahl von Nullen hat, weiß ich nicht, wie ich die Beschränkung auf die Summe von auferlegen sollXn.

Das Gelbe
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Diese Frage war klar genug, um Antworten zu erhalten, daher verstehe ich die Abstimmung zum Abschluss nicht als unklar
kjetil b halvorsen
Hast du das getan? n=2Fall? Was lernen Sie aus der Antwort?
P. Windridge

Antworten:

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Lassen Y:=X1++Xn. Beachten Sie, dass die Verteilung von(X1,,Xn) bedingt durch Y=tist multinomial (Übung). Dies gibt Ihnen eine konzeptionell einfachere Möglichkeit, über das Problem nachzudenken, das Sie habenn Kisten und werfen tBälle in ihnen zufällig. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dassk sind leer?

Nun, zuallererst gibt es nt Möglichkeiten, die zu werfen t Bälle in der n Boxen ohne Einschränkungen.

Jetzt wird es etwas komplizierter, obwohl wir nur Sachen zählen. Es gibt Möglichkeiten, die Felder auszuwählen, die leer bleiben. Wir haben dann Bälle, um sie in die verbleibenden Kisten zu werfen , so dass jede Kiste nicht leer ist. Sie können dies durch Einschluss / Ausschluss tun, genau wie beim Nachweis der Stirling-Nummer /math/550256/stirling-numbers-of-second-type .(nk)ktnk

Die Kombination dieser Zutaten ergibt die gewünschte Wahrscheinlichkeit: , .

1nt(nk)j=0nk(1)nkj(nkj)jt,
tnknk

Beachten Sie, dass in der Antwort nicht enthalten ist.λ


Aus Interesse und als kurze Übung habe ich dies codiert (eine Stirling-Zahlenfunktion ausgeliehen, die ich bei Google gefunden habe), um zu sehen, wie die Antwort aussieht:

##-- Stirling numbers of the 2nd kind
##-- (Abramowitz/Stegun: 24,1,4 (p. 824-5 ; Table 24.4, p.835)

##> S^{(m)}_n = number of ways of partitioning a set of $n$ elements into $m$
##> non-empty subsets

Stirling2 <- function(n,m)
{
  ## Purpose:  Stirling Numbers of the 2-nd kind
  ##        S^{(m)}_n = number of ways of partitioning a set of
  ##                      $n$ elements into $m$ non-empty subsets
  ## Author: Martin Maechler, Date:  May 28 1992, 23:42
  ## ----------------------------------------------------------------
  ## Abramowitz/Stegun: 24,1,4 (p. 824-5 ; Table 24.4, p.835)
  ## Closed Form : p.824 "C."
  ## ----------------------------------------------------------------

  if (0 > m || m > n) stop("'m' must be in 0..n !")
  k <- 0:m
  sig <- rep(c(1,-1)*(-1)^m, length= m+1)# 1 for m=0; -1 1 (m=1)
  ## The following gives rounding errors for (25,5) :
  ## r <- sum( sig * k^n /(gamma(k+1)*gamma(m+1-k)) )
  ga <- gamma(k+1)
  round(sum( sig * k^n /(ga * rev(ga))))
}


pmf<-function(n,t,k) {
  if (t >= (n-k) & n >= k) {
    (choose(n,k) * factorial(n-k) * Stirling2(t,n-k) )/(n^t)
  } else {
    0
  }
}


lambda <- 1
n <- 10
reps <- 500000
set.seed(2017)
X <- matrix(ncol=n,nrow=reps,data=rpois(n*reps,lambda))

K <- apply(X, 1,function(x){sum(x == 0)})
hist(K)

# restrict only to those that sum to t
Y<-rowSums(X)


t<-8
G<- (Y == t)
sum(G)

k <- 5
#head(X[which(K==k),])
#head(Y[which(K==k)])
#head(X[G,])
#head(Y[G])

posskvalues <- (n-t):n
nk <- length(posskvalues)
empP <- numeric(nk)
thP <- numeric(nk)

for(i in 1:nk) {
  k <- posskvalues[i]
# sum(K[G] == k)
  empP[i] <- sum(K[G] == k)/sum(G)
  thP[i] <- pmf(n,t,k)
}

plot(posskvalues,empP,main=paste("n=",n,", t=",t))
points(posskvalues,thP,pch="x")

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

P. Windridge
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Y=X1+X2++Xn ist eine Poisson-Zufallsvariable mit dem Parameter . Sie können also einen Ausdruck für aufschreiben .nλP(Y=t)

Es gibt Auswahlmöglichkeiten für eine Menge von Variablen, die Null sind. Wählen Sie einen bestimmten Satz. Dann ist die Summe der komplementären Menge von Variablen eine Poisson-Zufallsvariable mit dem Parameter , und ist unabhängig von den gewählten Variablen. Sie können also die Unabhängigkeit verwenden, um Ausdrücke für aufzuschreiben(nk)kZ(nk)λZk

P(Z=t) ,

P( gewählte Variablen sind ,k0)

P( gewähltes ist Null UND gewähltes ist Null UND .kZ=t)=P(kY=t)

Kannst du es von hier nehmen? Es sollten keine Binomialverteilungen beteiligt sein ...

Dilip Sarwate
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Was ist, wenn Nullen enthält? Z
Der gelbe
Was ist damit? ist die Summe der Poisson-Zufallsvariablen, und wenn einige von ihnen 0 sind, muss der Rest größer sein, wenn die Summe . Zt
Dilip Sarwate
Ich möchte nur k Variablen, die Null sind. "Poisson-Zufallsvariable Z mit Parameter (n - k) λ" -> es ist möglich, dass der komplementäre Satz von Variablen auch Nullen enthält, in welchem ​​Fall ich mehr als k Nullen fürX1,X2,X3,...Xn
The Yellow
P (k Null | t) = p (t | k Null) * P (k Null) / P (t) .... Diese Strategie funktioniert für einen bestimmten Satz von Variablen, die gleich Null sind. Was ist jedoch, wenn wir wissen wollen, dass eine Menge von Variablen gleich Null ist? Dieses Problem scheint schwieriger zu sein. (Ich bin nicht sicher , ob dies irgendwelche statt spezifischen ist die Frage)k
P(specific k zero|t)=((nk)λte(nk)λtt!)(λ0eλt0!)k(nλtenλtt!)=(nkn)t
k
Sextus Empiricus
1
Bei dieser Frage geht es darum, k Variablen gleich Null zu haben. Es ist keine bestimmte Menge von k Variablen. Die Frage, die ich bezüglich der obigen Antwort habe, ist, was , wenn die als nicht Null angenommen werden und einen Nullwert annehmen. Genauer gesagt, in " gewähltes sind Null UND ." Was ist, wenn in einen Nullwert annimmt In diesem Fall hätte ich insgesamt mehr als k Nullen. XiP(kY=t)XiY
Der gelbe