Die Wahrscheinlichkeit von k Nullen ergibt die Summe von n Poisson-Zufallsvariablen ist t?

Angenommen, ich habe $X_1,X_2,X_3,...X_n$ iid Zufallsvariablen aus einer Poisson-Verteilung von Parametern $\lambda$. Angesichts dessen$X_1 +X_2+X_3 +...+X_n = t$, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau $k$ von $X_1,X_2,X_3,...X_n$ sind Null?

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Mein Ansatz: Ich begann mit der Betrachtung der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion wo $X_1 +X_2+X_3 +...+X_n = t$ und $k$ von $X_1,X_2,X_3,...X_n$ist Null, aber ich weiß nicht, wie ich von hier aus vorgehen soll. Wenn ich ein Binomialmodell verwende, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass k eine Anzahl von Nullen hat, weiß ich nicht, wie ich die Beschränkung auf die Summe von auferlegen soll$X_n$.

Lassen $Y:=X_1+\ldots+X_n$. Beachten Sie, dass die Verteilung von$(X_1,\ldots,X_n)$ bedingt durch $Y = t$ist multinomial (Übung). Dies gibt Ihnen eine konzeptionell einfachere Möglichkeit, über das Problem nachzudenken, das Sie haben$n$ Kisten und werfen $t$Bälle in ihnen zufällig. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass$k$ sind leer?

Nun, zuallererst gibt es $n^t$ Möglichkeiten, die zu werfen $t$ Bälle in der $n$ Boxen ohne Einschränkungen.

Jetzt wird es etwas komplizierter, obwohl wir nur Sachen zählen. Es gibt Möglichkeiten, die Felder auszuwählen, die leer bleiben. Wir haben dann Bälle, um sie in die verbleibenden Kisten zu werfen , so dass jede Kiste nicht leer ist. Sie können dies durch Einschluss / Ausschluss tun, genau wie beim Nachweis der Stirling-Nummer /math/550256/stirling-numbers-of-second-type .$\binom{n}{k}$$k$$t$$n-k$

Die Kombination dieser Zutaten ergibt die gewünschte Wahrscheinlichkeit: , .

Beachten Sie, dass in der Antwort nicht enthalten ist.$\lambda$

Aus Interesse und als kurze Übung habe ich dies codiert (eine Stirling-Zahlenfunktion ausgeliehen, die ich bei Google gefunden habe), um zu sehen, wie die Antwort aussieht:

##-- Stirling numbers of the 2nd kind
##-- (Abramowitz/Stegun: 24,1,4 (p. 824-5 ; Table 24.4, p.835)

##> S^{(m)}_n = number of ways of partitioning a set of $n$ elements into $m$
##> non-empty subsets

Stirling2 <- function(n,m)
{
  ## Purpose:  Stirling Numbers of the 2-nd kind
  ##        S^{(m)}_n = number of ways of partitioning a set of
  ##                      $n$ elements into $m$ non-empty subsets
  ## Author: Martin Maechler, Date:  May 28 1992, 23:42
  ## ----------------------------------------------------------------
  ## Abramowitz/Stegun: 24,1,4 (p. 824-5 ; Table 24.4, p.835)
  ## Closed Form : p.824 "C."
  ## ----------------------------------------------------------------

  if (0 > m || m > n) stop("'m' must be in 0..n !")
  k <- 0:m
  sig <- rep(c(1,-1)*(-1)^m, length= m+1)# 1 for m=0; -1 1 (m=1)
  ## The following gives rounding errors for (25,5) :
  ## r <- sum( sig * k^n /(gamma(k+1)*gamma(m+1-k)) )
  ga <- gamma(k+1)
  round(sum( sig * k^n /(ga * rev(ga))))
}


pmf<-function(n,t,k) {
  if (t >= (n-k) & n >= k) {
    (choose(n,k) * factorial(n-k) * Stirling2(t,n-k) )/(n^t)
  } else {
    0
  }
}


lambda <- 1
n <- 10
reps <- 500000
set.seed(2017)
X <- matrix(ncol=n,nrow=reps,data=rpois(n*reps,lambda))

K <- apply(X, 1,function(x){sum(x == 0)})
hist(K)

# restrict only to those that sum to t
Y<-rowSums(X)


t<-8
G<- (Y == t)
sum(G)

k <- 5
#head(X[which(K==k),])
#head(Y[which(K==k)])
#head(X[G,])
#head(Y[G])

posskvalues <- (n-t):n
nk <- length(posskvalues)
empP <- numeric(nk)
thP <- numeric(nk)

for(i in 1:nk) {
  k <- posskvalues[i]
# sum(K[G] == k)
  empP[i] <- sum(K[G] == k)/sum(G)
  thP[i] <- pmf(n,t,k)
}

plot(posskvalues,empP,main=paste("n=",n,", t=",t))
points(posskvalues,thP,pch="x")

$Y = X_1+X_2+\cdots + X_n$ ist eine Poisson-Zufallsvariable mit dem Parameter . Sie können also einen Ausdruck für aufschreiben .$n\lambda$$P(Y=t)$

Es gibt Auswahlmöglichkeiten für eine Menge von Variablen, die Null sind. Wählen Sie einen bestimmten Satz. Dann ist die Summe der komplementären Menge von Variablen eine Poisson-Zufallsvariable mit dem Parameter , und ist unabhängig von den gewählten Variablen. Sie können also die Unabhängigkeit verwenden, um Ausdrücke für aufzuschreiben$\binom{n}{k}$$k$$Z$$(n-k)\lambda$$Z$$k$

$P(Z=t)$ ,

$P($ gewählte Variablen sind ,$k$$0)$

$P($ gewähltes ist Null UND gewähltes ist Null UND .$k$$Z=t) = P($$k$$Y=t)$

Kannst du es von hier nehmen? Es sollten keine Binomialverteilungen beteiligt sein ...