Wenn endlich ist, ist ?

Für eine kontinuierliche Zufallsvariable $X$ , wenn $E(|X|)$ endlich ist, ist $\lim_{n\to\infty}n P(|X|>n)=0$ ?

Dies ist ein Problem, das ich im Internet gefunden habe, aber ich bin mir nicht sicher, ob es gilt oder nicht.

Ich weiß, dass $n P(|X|>n)<E(|X|)$ durch Markov-Ungleichung gilt, aber ich kann nicht zeigen, dass es auf 0 geht, wenn $n$ auf unendlich geht.

probability expected-value probability-inequalities 456 123
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(1) Kontinuität ist nicht erforderlich. (2) Drücken Sie die Erwartung als Integral der Überlebensfunktion

Pr (| X | > n)

$\Pr(|X|\gt n)$ . (3) Betrachten Sie das Kontrapositive: Was würde ein Grenzwert ungleich Null für die Erwartung bedeuten?

whuber

@whuber schöne Übung! Ich glaube, ich habe eine richtige Antwort, aber da dies so aussieht self-study, denke ich nicht, dass ich es hier schreiben sollte. Kann ich einen privaten Chatraum einrichten und Ihnen meine Lösung zeigen, damit Sie mir sagen können, ob sie korrekt ist?

DeltaIV

@Delta Dies ist ein Fall, in dem das Posten Ihrer Antwort für mich in Ordnung erscheint: Das OP hat eine bestimmte Unterfrage und scheint nicht nur nach Antworten auf Hausaufgaben zu suchen.

whuber

@whuber dies erinnert mich an die Nicht-Existenz einer gleichmäßigen Verteilung über die natürlichen Zahlen - bedeutet dies , dass , während die Kontinuität hier nicht erforderlich ist, zählbare additivity ist ?

Bill Clark

Antworten:

Sehen Sie sich die Folge von Zufallsvariablen definiert werden, indem nur große Werte von beibehalten werden :Es ist klar, dass , also Beachten Sie, dass undfür jedes . Die LHS von (1) tendiert also durch dominierte Konvergenz zu Null . $\{Y_n\}$ $|X|$

Y_{n} := | X | I (| X | > n) .

$Y_n:=|X|I(|X|>n).$

Y_{n} \geq n I (| X | > n)

$Y_n\ge nI(|X|>n)$

\begin{matrix} (1) & E (Y_{n}) \geq n P (| X | > n) . \end{matrix}

$E(Y_n)\ge nP(|X|>n).\tag1$

Y_{n} \to 0

$Y_n\to0$

| Y_{n} | \leq | X |

$|Y_n|\le |X|$

n

$n$

grand_chat
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Ich denke du meinst "RHS" in deinem letzten Satz, sonst gute Arbeit!

Jbowman

@jbowman, er / sie bedeutet durch den dominierten Konvergenzsatz (beachten Sie, dass allein nicht ausreicht, um zu dieser Schlussfolgerung zu gelangen). Ich habe den Link zu DCT auf Wikipedia hinzugefügt

E Y_{n} \to 0

$\mathbb{E}{Y_n} \to 0$

Y_{n} \to 0

$Y_n \to 0$

P. Windridge

@ P.Windridge - Ich habe nicht sorgfältig genug gelesen und das "So the LHS" mit Gleichung 1 anstatt mit dem vorherigen Satz verknüpft. Mein Fehler.

Jbowman

Beachten Sie, dass eine Zufallsvariable ist. in welchem Sinne?

Y_{n}

$Y_n$

Y_{n} \to 0

$Y_n\rightarrow 0$

YHH

@YHH Die Konvergenz ist punktuell: Für jedes gilt als .

ω

$\omega$

Y_{n} (ω) \to 0

$Y_n(\omega)\to0$

n \to \infty

$n\to\infty$

grand_chat

Ich kann eine Antwort für eine kontinuierliche Zufallsvariable geben (es gibt sicherlich eine allgemeinere Antwort). Sei:: $Y=|X|$

E [Y] = \int_{0}^{\infty} y f_{Y} (y) d y = \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + \int_{n}^{\infty} y f_{Y} (y) d y \geq \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + n \int_{n}^{\infty} f_{Y} (y) d y = \dots + n (F_{Y} (\infty) - F_{Y} (n)) = \dots + n (1 - F_{Y} (n)) = \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + n P (Y > n)

$\mathbb{E}[Y]=\int_0^\infty yf_Y(y)\text{d}y=\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+\int_n^\infty yf_Y(y)\text{d}y\ge\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+n\int_n^\infty f_Y(y)\text{d}y=\dots+n\left(F_Y(\infty)-F_Y(n)\right)=\dots+n(1-F_Y(n))=\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+nP(Y\gt n)$

Somit

0 \leq n P (Y > n) \leq (E [Y] - \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y)

$0\leq nP(Y\gt n)\le\left(\mathbb{E}[Y]-\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y\right)$

Nun, da nach der Hypothese endlich ist, haben wir das $\mathbb{E}[Y]$

lim_{n \to \infty} (E [Y] - \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y) = E [Y] - lim_{n \to \infty} \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y = E [Y] - E [Y] = 0

$\lim_{n\to \infty}\left(\mathbb{E}[Y]-\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y\right)=\mathbb{E}[Y]-\lim_{n\to \infty}\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y=\mathbb{E}[Y]-\mathbb{E}[Y]=0$

Dann

lim_{n \to \infty} n P (Y > n) = 0

$\lim_{n\to \infty}nP(Y\gt n)=0$

nach dem Sandwich-Theorem.

DeltaIV
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@ P.Windridge Könnten Sie bitte überprüfen, ob auch meine Verwendung des dominierten Konvergenzsatzes korrekt ist? Ich habe eine Menge, , die nicht negativ ist und nicht größer als eine Menge, deren Grenze 0 ist, also in meiner Anwendung der Satz. Vielen Dank

n P (Y > n)

$nP(Y>n)$

lim_{n \to \infty} n P (Y > n) = 0

$\lim_{n\to\infty}nP(Y>n)=0$

DeltaIV

@ DeltaIV- Zunächst wird zur Verdeutlichung " und impliziert " NICHT der dominierte Konvergenzsatz (normalerweise wird er als Sandwich-Satz bezeichnet).

a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}

$a_n \le b_n \le c_n$

a_{n}, c_{n} \to l

$a_n, c_n \to l$

b_{n} \to l

$b_n\to l$

P. Windridge

@ DeltaIV- nein, du brauchst keine DCT, MCT ist genug (dies beinhaltet die Möglichkeit, dass , aber dann kannst du nicht sagen !)

E Y = \infty

$\mathbb{E} Y = \infty$

E Y - E Y = \infty - \infty = 0

$\mathbb{E} Y -\mathbb{E} Y = \infty - \infty = 0$

P. Windridge

Kein Problem. Übrigens, ich weiß, dass durch die Annahme endlich ist. Ich habe nur erklärt, wo Sie diese Annahme verwenden (die MCT selbst erfordert sie nicht, im Gegensatz zur DCT, die @grand_chat verwendet hat, und ich hoffe, Sie haben sie angeschaut :)).

E [Y]

$E[Y]$

P. Windridge

@ P.Windridge ah, ok! Ich habe nicht bemerkt, dass MCT diese Annahme nicht erfordert. Ich habe mir das DCT angesehen, deshalb dachte ich, ich brauche es nicht für meinen Beweis :) Ich bezahle den Preis dafür, dass ich an der Universität nicht über Lebesgue-Integration unterrichtet wurde ... aus diesem Grund bin ich es gewohnt Wahrscheinlichkeitsrechnung in Form von PDFs anstelle von Maßen durchführen.

DeltaIV

$E\left | X \right |< \infty \Leftrightarrow E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\rightarrow 0$ (einheitlich integrierbar)

$E\left | X \right |=E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}+E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |\leq n}$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\leq E\left | X \right |< \infty$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\geq nE\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}=nP\left ( \left | X \right |>n\right )$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n} \rightarrow 0 \Rightarrow nP\left ( \left | X \right |>n\right )\rightarrow 0 \Rightarrow P\left ( \left | X \right |>n\right )\rightarrow 0$

dh $\underset{n\rightarrow \infty}{\lim} P\left ( \left | X \right |>n\right )=0$

Aldehu
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