"Unerwartete" Erwartung

Kann einer unserer Monte-Carlo-Experten die "unerwartete" Erwartung am Ende dieser Antwort erklären ?

Ex-post- Zusammenfassung der anderen Frage / Antwort: Wenn IID-Zufallsvariablen sind und die Erwartungen existieren, zeigt ein einfaches Symmetrieargument , dass , aber ein Monte-Carlo-Experiment mit scheint diesem Satz zu widersprechen.$X_1,\dots,X_n$$\mathrm{E}[X_i/\bar{X}]$$\mathrm{E}[X_i/\bar{X}]=1$$X_i\sim\mathrm{N}(0,1)$

x <- matrix(rnorm(10^6), nrow = 10^5)
mean(x[,2]/rowMeans(x))

[1] 5.506203

Die Erklärung für die Monte-Carlo-Bewertung des Verhältnisses unter Verwendung seltsamer Werte ist, dass die Erwartung nicht existiert. Als Transformation eines Cauchy in Ihrem normalen Beispiel . In der Tat ist was nicht der ist integrierbar bei da äquivalent zu .$\mathbb{E}[X_1/(X_1+X_2)]$$X_1/X_2$

$$\begin{align*} \mathbb{E}[X_1/(X_1+X_2)] &=\mathbb{E}[1/(1+X_2/X_1)]\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+y}\,\frac{1}{\pi(1+y^2)}\text{d}y \end{align*}$$ $y=-1$$(y+1)^{-1}$

Beachten Sie, dass keine Cauchy-Variable ist, sondern die Transformation einer Cauchy-Variable durch die Funktion Der Grund dafür ist das und das wobei .$X_1/\bar{X}$

$$f:\ y \to \dfrac{n}{1+\sqrt{n-1}y}$$ $$(X_2+\ldots+X_n)\sim\text{N}(0,n-1)$$ $$\frac{X_1}{\bar{X}}=\dfrac{n}{1+(X_2+\ldots+X_n)/X_1}=\dfrac{n}{1+\sqrt{n-1}Z/X_1}$$ $Z\sim\text{N}(0,1)$

Beachten Sie, dass , wenn gegen unendlich wächst, in der Verteilung gegen die Zufallsvariable konvergiert, die mit der Wahrscheinlichkeit gleich .$n$$X_1/\bar{X}$$\pm \infty$$1/2$