Ich sehe oft den Begriff weißes Rauschen, wenn ich über verschiedene statistische Modelle lese. Ich muss jedoch zugeben, dass ich nicht ganz sicher bin, was das bedeutet. Es wird normalerweise als abgekürzt . Bedeutet das, dass es normal verteilt ist, oder könnte es irgendeiner Verteilung folgen?$WN(0,σ^2)$

TL; DR

Die Antwort ist NEIN, es muss nicht normal sein. JA, es können auch andere Distributionen sein.

Farben des Geräusches

Sprechen wir über die Farben des Rauschens.

1. Das Geräusch, das ein Säugling während des Fluges macht, ist nicht weiß. Es hat Farbe.
2. Das Geräusch, das ein Flugzeugmotor macht, ist auch nicht weiß, aber es ist nicht so gefärbt wie das Geräusch des Kindes. Es ist weißer.
3. Der Lärm, den ein Ozean oder ein Wald erzeugt, ist fast weiß.

Wenn Sie Kopfhörer mit Geräuschunterdrückung verwenden, wissen Sie, dass die Nummer 1 nicht storniert werden kann. Es wird mit Leichtigkeit durch jedes Kopfhörer stechen. # 2 wird sehr gut abgesagt.

Was # 3 betrifft, warum würdest du es stornieren?

Herkunft eines Begriffs "Farbe"

Was ist der Unterschied zwischen diesen drei Geräuschen? Es kommt aus der Spektralanalyse . Wie Sie aus den Schuljahren wissen, können Sie das weiße Licht durch ein Prisma senden und es wird das Licht in alle verschiedenen Farben aufteilen. Das ist es, was wir Weiß nennen: alle Farben in ungefähr demselben Verhältnis. Es dominiert keine Farbe.

Bild ist von https://www.haikudeck.com/waves-and-light-vocabulary-uncategorized-presentation-w5bmS88NC9

Die Farbe ist das Licht einer bestimmten Frequenz oder man könnte sagen, elektromagnetische Wellen einer bestimmten Wellenlänge wie unten gezeigt. Die rote Farbe hat eine niedrige Frequenz im Vergleich zu der blauen, entsprechend hat die rote Farbe eine längere Wellenlänge von fast 800 nm im Vergleich zu der blauen Wellenlänge von 450 nm.

Bild ist von hier: https://hubpages.com/education/Teachers-Guide-for-Radiation-beyond-Visible-Spectrum

Spektralanalyse

Wenn Sie akustisches, radioaktives oder anderes Rauschen aufnehmen und es durch ein Spektralanalysetool wie FFT senden, erhalten Sie eine spektrale Zerlegung. Sie sehen, wie viel von jeder Frequenz im Rauschen enthalten ist, wie im nächsten Bild von Wikipedia gezeigt. Es ist klar, dass dies kein weißes Rauschen ist: Es hat deutliche Peaks bei 50 Hz, 40 Hz usw.

Wenn ein schmales Frequenzband hervorsteht, heißt es farbig, wie in nicht weiß . Weißes Rauschen ist also genau wie weißes Licht. Es hat einen weiten Frequenzbereich in ungefähr demselben Verhältnis wie in der nächsten Abbildung auf dieser Seite gezeigt . Das obere Diagramm zeigt die Aufzeichnung der Amplitude und das untere die spektrale Zerlegung. Keine Frequenz ragt heraus. Das Geräusch ist also weiß.

Perfekter Sinus

Warum erzeugt nun die Folge von unabhängigen, identisch verteilten Zufallszahlen (iid) das weiße Rauschen? Überlegen wir, was ein Signal farbig macht. Es sind die Wellen bestimmter Frequenzen, die sich von anderen abheben. Sie dominieren das Spektrum. Stellen Sie sich eine perfekte Vorzeichenwelle vor: . Mal sehen, wie groß die Kovarianz zwischen zwei Punkten Sekunden ist: φ = 1 / 2 E [ sin ( 2 π t ) × sin ( 2 π ( t + 1 / 2 ) ] = - E [ sin 2 ( 2 π t ) ] = - $\sin(2\pi t)$$\phi=1/2$

In Gegenwart der Sinuswelle erhalten wir also eine Autokorrelation in der Zeitreihe: Alle Schwankungen im Abstand von einer halben Sekunde werden perfekt negativ korreliert! Wenn wir nun sagen, dass unsere Daten iid sind, bedeutet dies, dass keinerlei Autokorrelation vorliegt. Dies bedeutet, dass das Signal keine Wellen enthält. Das Spektrum des Rauschens ist flach.

Unvollkommenes Beispiel

Hier ist ein Beispiel, das ich auf meinem Computer erstellt habe. Ich habe zuerst meine Stimmgabel aufgenommen , dann das Geräusch der Computerfans. Dann habe ich den folgenden MATLAB-Code ausgeführt, um die Spektren zu analysieren:

[y,Fs] = audioread(filew);

data = y(1000:5000,1);
plot(data)
figure
periodogram(data,[],[],Fs);
[pxx,f] = periodogram(data,[],[],Fs);
 [pm,i]=max(pxx);
 f(i)

Hier ist das Signal und das Spektrum der Stimmgabel. Wie erwartet hat es eine Spitze bei ungefähr 440 Hz. Die Stimmgabel muss ein nahezu ideales Sinuswellensignal erzeugen, wie in meinem theoretischen Beispiel zuvor.

Als nächstes habe ich das gleiche mit dem Lärm gemacht. Wie erwartet ragt keine Frequenz heraus. Offensichtlich ist dies nicht das weiße Rauschen, aber es kommt dem sehr nahe. Ich denke, dass es sehr hohe Frequenzen geben muss, das stört mich ein bisschen. Ich muss den Lüfter bald wechseln. Ich sehe es jedoch nicht im Spektrum. Möglicherweise, weil mein Mikrofon überfordert ist oder die Abtastfrequenz nicht hoch genug ist.

Verteilung spielt keine Rolle

Der wichtige Teil ist, dass die Zahlen in der Zufallsfolge nicht automatisch korrelieren (oder sogar stärker, unabhängig). Die genaue Verteilung ist nicht wichtig. Es könnte Gauß oder Gamma sein, aber solange die Zahlen in der Sequenz nicht korrelieren, ist das Rauschen weiß.

Weißes Rauschen bedeutet einfach, dass die Sequenz der Abtastwerte nicht mit dem Mittelwert Null und der endlichen Varianz korreliert ist. Die Verteilung, aus der die Proben gezogen werden, unterliegt keiner Einschränkung. Wenn nun die Samples zufällig aus einer Normalverteilung gezogen werden, haben Sie eine spezielle Art von weißem Rauschen, das so genannte Gaußsche weiße Rauschen.