Was ist höher,

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Ich hatte also einen Wahrscheinlichkeitstest und konnte diese Frage nicht wirklich beantworten. Es hat nur so etwas gefragt:

"Wenn man bedenkt, dass eine Zufallsvariable ist, 0 , benutze die richtige Ungleichung, um zu beweisen, was höher oder gleich ist, E (X ^ 2) ^ 3 oder E (X ^ 3) ^ 2 .XX E ( X 2 ) 3 E ( X 3 ) 20E(X2)3E(X3)2

Das einzige, was ich denken konnte, war die Ungleichung von Jensen, aber ich weiß nicht wirklich, wie ich sie hier anwenden soll.

Trikolore
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Versuchen Sie stattdessen die Ungleichung von Holder.
Jbowman
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Bitte fügen Sie das Selbststudien-Tag hinzu.
Michael R. Chernick
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Der Thread unter stats.stackexchange.com/questions/244202/… verallgemeinert diese Frage: Nehmen Sie einfach die sechsten Wurzeln beider Seiten, um sie anzuwenden.
whuber
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Bitte sehen Sie die Diskussion der Hausaufgaben-Stil Fragen in der Hilfe-Center
Glen_b -Reinstate Monica

Antworten:

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Dies kann in der Tat durch Jensens Ungleichung bewiesen werden.

Hinweis : Beachten Sie, dass für die Funktion in konvex ist (hier verwenden Sie die Annahme ). Dann gibt die Jensen-Ungleichung und für ist es das anders herum.x α [ 0 , - ) X 0 E [ Y ] αE [ Y α ] α < 1α>1xα[0,)X0

E[Y]αE[Yα]
α<1

Transformieren Sie nun die Variablen in etwas Vergleichbares und suchen Sie das relevante .α

tmrlvi
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Lyapunovs Ungleichung (siehe: Casella und Berger, Statistical Inference 4.7.6):

Für : E [ | X | r ] 11<r<s<

E[|X|r]1rE[|X|s]1s

Beweis :

Durch Jensens 'Ungleichung für konvex :ϕ ( E X ) E [ ϕ ( x ) ]ϕ(x)ϕ(EX)E[ϕ(x)]

Betrachten Sie , dann wobei ( E [ Y ] ) tE [ Y t ] Y = | X | rϕ(Y)=Yt(E[Y])tE[Yt]Y=|X|r

Ersetzen Sie : (E[|X|r]) st=sr(E[|X|r])srE[|X|rsr] E[|X|r]1rE[|X|s]1s

Im Allgemeinen bedeutet dies für :X>0

E[X](E[X2])12(E[X3])13(E[X4])14

rechtsgesägt
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Angenommen, X hat eine gleichmäßige Verteilung auf [0,1], dann ist E (X ) = und somit E (X ) = und E ( X ) =12 2311323 311273 32114 also E (X ) = . Also in diesem Fall E (X ) > E (X ) . Können Sie dies verallgemeinern oder ein Gegenbeispiel finden?32 32231163223

Michael R. Chernick
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Sehr vage Antwort. Das OP wird gebeten, die korrekte Aussage zu beweisen. Es gibt überhaupt kein Gegenbeispiel.
Zhanxiong