Was ist höher,

Ich hatte also einen Wahrscheinlichkeitstest und konnte diese Frage nicht wirklich beantworten. Es hat nur so etwas gefragt:

"Wenn man bedenkt, dass eine Zufallsvariable ist, 0 , benutze die richtige Ungleichung, um zu beweisen, was höher oder gleich ist, E (X ^ 2) ^ 3 oder E (X ^ 3) ^ 2 .$X$$X$ $\geqslant$ E ( X 2 ) 3 E ( X 3 ) $0$$E(X^2)^3$$E(X^3)^2$

Das einzige, was ich denken konnte, war die Ungleichung von Jensen, aber ich weiß nicht wirklich, wie ich sie hier anwenden soll.

Dies kann in der Tat durch Jensens Ungleichung bewiesen werden.

Hinweis : Beachten Sie, dass für die Funktion in konvex ist (hier verwenden Sie die Annahme ). Dann gibt die Jensen-Ungleichung und für ist es das anders herum.x α [ 0 , - ∞ ) X ≥ 0 E [ Y ] α ≤ E [ Y α ] α < $\alpha > 1$$x^{\alpha}$$\left[0, -\infty\right)$$X \ge 0$

Transformieren Sie nun die Variablen in etwas Vergleichbares und suchen Sie das relevante .$\alpha$

Lyapunovs Ungleichung (siehe: Casella und Berger, Statistical Inference 4.7.6):

Für : E [ | X | r ] $1 < r < s < \infty$

Beweis :

Durch Jensens 'Ungleichung für konvex :ϕ ( E X ) ≤ E [ ϕ ( x ) $\phi(x)$$\phi(\mathbb{E}X) \leq \mathbb{E}[\phi(x)]$

Betrachten Sie , dann wobei ( E [ Y ] ) t ≤ E [ Y t ] Y = | X | $\phi(Y) = Y^t$$(\mathbb{E}[Y])^t \leq \mathbb{E}[Y^t]$$Y = |X|^r$

Ersetzen Sie : (E[|X|r])$t = \frac{s}{r}$$(\mathbb{E}[|X|^r])^{\frac{s}{r}} \leq \mathbb{E}[|X|^{r\frac{s}{r}}]$ $\implies \mathbb{E}[|X|^r]^\frac{1}{r} \leq \mathbb{E}[|X|^s]^\frac{1}{s}$

Im Allgemeinen bedeutet dies für :$X >0$

$\mathbb{E}[X] \leq (\mathbb{E}[X^2])^\frac{1}{2} \leq (\mathbb{E}[X^3])^\frac{1}{3} \leq (\mathbb{E}[X^4])^\frac{1}{4} \leq \dots$

Angenommen, X hat eine gleichmäßige Verteilung auf [0,1], dann ist E (X ) = und somit E (X ) = und E ( X ) =$^2$ 23$\frac{1}{3}$$^2$$^3$ 3$\frac{1}{27}$$^3$ 32$\frac{1}{4}$ also E (X ) = . Also in diesem Fall E (X ) > E (X ) . Können Sie dies verallgemeinern oder ein Gegenbeispiel finden?$^3$$^2$ 322$\frac{1}{16}$$^3$$^2$$^2$$^3$