Ist die Gaußsche Verteilung ein spezieller Fall der Beta-Verteilung?

Sie sind beide symmetrisch und mehr oder weniger glockenförmig, aber das symmetrische Beta (ob bei 4,4 oder bei einem anderen spezifischen Wert) ist nicht wirklich Gaußsch. Sie können dies auch ohne Blick auf die Dichte feststellen - Beta-Verteilungen sind eingeschaltet (0,1), während alle Gaußschen Verteilungen eingeschaltet sind $(-\infty,\infty)$

Schauen wir uns den Vergleich etwas genauer an. Wir werden das Beta (4,4) so standardisieren, dass es den Mittelwert 0 und die Standardabweichung 1 (ein standardisiertes Beta ) hat, und untersuchen, wie die Dichte mit einem Standard-Gaußschen verglichen wird:

Das standardisierte Beta (4,4) darf nur zwischen -3 und 3 liegen (der Standard-Gaußsche Wert kann einen beliebigen Wert annehmen). Es ist auch weniger spitz als das Gaußsche und hat rundere "Schultern" um ungefähr 1 Standardabweichung auf beiden Seiten des Mittelwerts. Seine Kurtosis ist 27/11 ( 2,45 gegenüber 3 für den Gaußschen). $\approx$

Symmetrische Beta-Verteilungen mit größeren Parameterwerten liegen näher an Gauß.

Wenn sich der Parameter der Unendlichkeit nähert, nähert sich ein standardisiertes symmetrisches Beta einer Standardnormalverteilung (Beispielbeweis hier ).

Kein spezifischer Fall des symmetrischen Beta ist also Gauß, aber der Grenzfall eines geeignet standardisierten Beta ist Gauß. Wir können diesen Ansatz leichter erkennen, wenn wir uns das PDF der Beta ansehen, das durch die Quantilfunktion des Gaußschen transformiert wird. Auf dieser Skala würde der Gaußsche Wert auf der Linie liegen, während sich die symmetrische Beta-Familie der Linie nähern würde , wenn der Parameter immer größer würde. $y=x$ $y=x$

In der folgenden Darstellung sehen wir uns die Abweichungen von der Linie an, um die Annäherung des Beta ( , ) an den Gaußschen zunehmendem zu erkennen. $y=x$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$

Glen_b - Monica neu starten
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1

$1$

t

$t$

1

$1$

X_{α, α} \sim Beta (α, α)

$X_{\alpha,\alpha} \sim \text{Beta}(\alpha,\alpha)$

\frac{X_{α} - \frac{1}{2}}{\sqrt{1 / (4 (2 α + 1))}} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{X_\alpha -\frac12}{\sqrt{1/(4(2\alpha+1))}}\xrightarrow{d}\ N(0,1)$

α

$\alpha$

+ 1

$+1$

\frac{X_{α} - \frac{1}{2}}{\sqrt{1 / (8 α)}} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{X_\alpha -\frac12}{\sqrt{1/(8\alpha)}}\xrightarrow{d}\ N(0,1)$

α

$\alpha$

Ist die Gaußsche Verteilung ein spezieller Fall der Beta-Verteilung?

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