Das ist unabhängig, wenn und wenn

Sei unabhängige Zufallsvariablen.$X_i\sim\text{Gamma}(\alpha,p_i),i=1,2,...,n+1$

Definiere und . Zeigen Sie dann, dass unabhängig voneinander verteilt sind.$Z_1=\sum_{i=1}^{n+1}X_i$$Z_i=\frac{X_i}{\sum_{j=1}^iX_j},\quad i=2,3,...,n+1$$Z_1,Z_2,...,Z_{n+1}$

Die Verbindungsdichte von ist gegeben durch$(X_1,...,X_{n+1})$

Wir transformieren so, dass$\mathbf X=(X_1,\cdots,X_{n+1})\mapsto\mathbf Z=(Z_1,\cdots,Z_{n+1})$

$Z_1=\sum_{i=1}^{n+1}X_i$ und$Z_i=\frac{X_i}{\sum_{j=1}^iX_j},\quad i=2,3,...,n+1$

$\implies x_{n+1}=z_1z_{n+1},$

$\qquad x_n=z_1z_n(1-z_{n+1}),$

$\qquad x_{n-1}=z_1z_{n-1}(1-z_n)(1-x_{n+1}),$

$\qquad\vdots$

$\qquad x_3=z_1z_3\prod_{j=4}^{n+1}(1-z_j)$

$\qquad x_2=z_1z_2\prod_{j=3}^{n+1}(1-z_j)$

$\qquad x_1=z_1\prod_{j=2}^{n+1}(1-z_j)$ , wobei und$0<z_1<\infty$$0<z_i<1,\quad i=2,3,\cdots,n+1$

Der Jacobi der Transformation ist$J=\dfrac{\partial(x_1,...,x_{n+1})}{\partial(z_1,...,z_{n+1})}=\det\begin{pmatrix}\frac{\partial x_1}{\partial z_1} &\cdots& \frac{\partial x_1}{\partial z_{n+1}} \\ &\ddots\\\frac{\partial x_{n+1}}{\partial z_1} &\cdots& \frac{\partial x_{n+1}}{\partial z_{n+1}}\\\end{pmatrix}$

Durch Ausführen der Operation wir als Determinante von$R_1'=\sum_1^{n+1}R_i$$J$

$\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots&0&0 \\z_2\prod_3^{n+1}(1-z_j)& z_1\prod_3^{n+1}(1-z_j) \\ z_3\prod_4^{n+1}(1-z_j)&0& z_1\prod_4^{n+1}(1-z_j)\\&&&\ddots\\z_n(1-z_{n+1})&0&0&\cdots&z_1(1-z_{n+1})& -z_1z_n \\z_{n+1}&0&0 &\cdots&0& z_1\\\end{pmatrix}$

das entspricht .$z_1^n(1-z_3)(1-z_4)^2...(1-z_n)^{n-2}(1-z_{n+1})^{n-1}$

Nach einiger Vereinfachung erhalten wir die Verbindungsdichte von as$\bf Z$

$f_{\bf Z}(z_1,...,z_{n+1})=\prod_{i=1}^{n+1}f_{Z_i}(z_i)$

wobei$Z_1\sim \text{Gamma}(\alpha,\sum_1^{n+1}p_i),$

$\qquad Z_2\sim \text{Beta}_1(p_1,p_2),$

$\qquad Z_3\sim \text{Beta}_1(p_3,p_1+p_2),$

$\qquad \vdots$

$\qquad Z_{n+1}\sim \text{Beta}_1(p_{n+1},\sum_1^np_i)$ ,

mit und ,$0<z_1<\infty$$0<z_i<1,\quad i=2,3,\cdots,n+1$

$\alpha>0$ und für .$p_i>0$$i=1,2,...,n+1$

Es ist unnötig zu erwähnen, dass das Auffinden der inversen Lösungen und das Bewerten des Jacobian umständlich und zeitaufwändig war. Neben der der Aufgabe werden auch die Verteilungen der .$x_i$$Z_i$

Gibt es eine einfachere Möglichkeit, nur die Unabhängigkeit der zu zeigen ?$Z_i$

Ich werde die entsprechende Aussage beweisen.

Sei , , , unabhängig. Bezeichne , ; , . Dann sind , , , und unabhängig und .$n\ge 1$$X_k\sim \Gamma(\alpha,p_k)$$k=1,\dots,n+1$$S_k = X_1+\dots+X_k$$k=1,\dots,n+1$$R_k = \frac{S_k}{S_{k+1}}$$k=1,\dots,n$$R_1$$R_2$$\dots$$R_{n}$$S_{n+1}$$S_{n+1}\sim \Gamma(\alpha,p_1+\dots + p_{n+1})$

Bemerkung In der OP-Notation ist , , .$Z_1=S_{n+1}$$Z_k = 1 - R_{k-1}$$k=2,\dots,n+1$

Beweis . ist einfach (und bekannt).$n=1$

$n-1\Rightarrow n$ .

Durch Induktionshypothese und Unabhängigkeit sind die Vektoren und unabhängig. Daher sind die Vektoren und sind unabhängig. Beide Vektoren haben unabhängige Komponenten: durch Induktionshypothesen durch Induktionsbasis. Daher sind ihre Komponenten unabhängige Zufallsvariablen.$\mathbf{R} = (R_1,\dots,R_{n-1})$$(S_{n},X_{n+1})$$\mathbf{R}$$\big(\frac{S_{n}}{S_{n}+X_{n+1}},S_{n}+X_{n+1}\big) = (R_n,S_{n+1})$$\mathbf R$$(R_n,S_{n+1})$

Es ist kein Problem, die Verteilung von in die Anweisung aufzunehmen, der Beweis ändert sich nicht. Die Verteilung von ist bereits vorhanden: Ich brauche sie, um zu sagen, dass die Unabhängigkeit von und von der Induktionsbasis folgt.$R_n$$S_n$$R_n$$S_{n+1}$