Perzentile von

Angenommen, , und . Ich interessiere mich für die Berechnung von Perzentilen von . Wir können von einer bivariaten Normalität ausgehen.$X \sim N(\mu_x,\sigma_x^2)$$Y \sim N(\mu_y,\sigma_y^2)$$\operatorname{Corr}(X,Y)=\rho$$Z = \max(X,Y)$

Ich weiß, wie man das PDF, den Mittelwert und die Varianz von , aber ich habe Probleme, die Perzentile zu lösen oder eine Annäherung zu finden. Wurde dies irgendwo in der Literatur herausgearbeitet? $Z$

Sie können dies numerisch berechnen . Was die theoretischen Ergebnisse betrifft, habe ich keinen Bezug zur Literatur, aber hier ist eine Berechnung, wie Ihr Problem mit dem normalen Standard-CDF .$\Phi$

Das gemeinsame PDF ist wobei Der Einfachheit halber gehe ich von , : Jetzt haben wir unter Verwendung von , dass

$$f(x_1,x_2)=\frac1{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left[-\frac{z}{2(1-\rho^2)}\right]$$ $$z=\frac{(x_1-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-\frac{2\rho(x_1-\mu_1)(x_2-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(x_2-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}.$$ $\mu_1=\mu_2=0$$\sigma_1=\sigma_2=1$ $$f(x_1,x_2)=\frac1{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left[-\frac{z}{2(1-\rho^2)}\right],\qquad z=x_1^2 - 2\rho x_1x_2 + x_2^2.$$ $x^2-2\rho xy = (x-\rho y)^2-\rho^2y^2$ $$\Pr(\max(X,Y)\le a)=\int_{-\infty}^a\int_{-\infty}^a f(x,y)\,dx\,dy=$$ $$\frac1{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\int_{-\infty}^a\exp\left(-\frac{y^2}{2(1-\rho^2)}\right)\int_{-\infty}^a \exp\left(-\frac{x^2-2\rho xy}{2(1-\rho^2)}\right)\,dx\,dy$$ $$=\frac1{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\int_{-\infty}^a\exp\left(-\frac{y^2}{2}\right)\int_{-\infty}^a \exp\left(-\frac{(x-\rho y)^2}{2(1-\rho^2)}\right)\,dx\,dy$$ Sei normal mit Mittelwert und Varianz . Dann ist Also bekommen wir$W$$\rho y$$1-\rho^2$ $$\Pr(W\le a)=\Pr\left((W-\rho y)/\sqrt{1-\rho^2}\le (a-\rho y)/\sqrt{1-\rho^2}\right)$$ $$=\Phi\left((a-\rho y)/\sqrt{1-\rho^2}\right).$$

$$\Pr(\max(X,Y)\le a)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^a \exp\left(-y^2/2\right)\Phi\left(\frac{a-\rho y}{\sqrt{1-\rho^2}}\right)\,dy.$$

Sie können sehen, dass wenn ist, dies nur , wie es sein sollte.$\rho=0$$\Phi(a)^2$