Gaußsche Verteilungsverhältnis: Derivatives WRT Basiswert

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Ich arbeite mit zwei unabhängigen Normalverteilungen und mit den Mitteln und und den Varianzen und .Y μ x μ y σ 2 x σ 2 yXY.μxμyσx2σy2

Ich bin an der Verteilung ihres Verhältnisses interessiert . Weder noch haben einen Mittelwert von Null, daher wird nicht als Cauchy verteilt.X Y ZZ=X/Y.XY.Z

Ich muss die CDF von finden und dann die Ableitung der CDF in Bezug auf , , und .μ x μ y σ 2 x σ 2 yZμxμyσx2σy2

Kennt jemand eine Arbeit, bei der diese bereits berechnet wurden? Oder wie mache ich das selbst?

Ich habe die Formel für die CDF in einer Veröffentlichung von 1969 gefunden , aber diese Derivate zu nehmen wird definitiv ein großer Schmerz sein. Vielleicht hat es schon jemand gemacht oder weiß, wie es einfach geht? Ich muss hauptsächlich die Anzeichen dieser Derivate kennen.

Diese Arbeit enthält auch eine analytisch einfachere Näherung, wenn überwiegend positiv ist. Ich kann diese Einschränkung nicht haben. Vielleicht hat die Approximation aber auch außerhalb des Parameterbereichs das gleiche Vorzeichen wie die wahre Ableitung?Y.

ABC
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4
Ich habe für Sie hinzugefügt . Sie haben "Sigma" geschrieben, aber erwähnt, dass dies Varianzen sind, also habe ich sie im Sigma-Quadrat erstellt. Stellen Sie sicher, dass immer noch steht, was Sie fragen möchten. TEX
gung - Reinstate Monica
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en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution hat die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
Douglas Zare
2
Das ist das gleiche PDF wie im obigen Artikel. Ich versuche, die Ableitung der CDF in Bezug auf die zugrunde liegenden Mus und Sigmas zu nehmen.
ABC
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Die Formel des von David Hinkley gefundenen PDFs ist vollständig geschlossen. So können Sie diese Derivate Schritt für Schritt übernehmen. Eigentlich bin ich neugierig, ob ich solche Ableitungen machen soll, denn es gibt keinen Grund, warum das Vorzeichen über die reellen Zahlen gleichförmig sein sollte ...
Xi'an,
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@ABC Die Dichte von in Gleichung 1 dieser Arbeit . Ich habe vor einiger Zeit daran gearbeitet und es stimmt mit dem Ergebnis von Hinkley und Marsaglia überein . Es kann mit brachialer Gewalt abgeleitet werden, wie Douglas Zare vorschlägt (ich habe es getan, nur empfohlen, wenn Sie es wirklich tun müssen). X/Y.

Antworten:

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Einige verwandte Artikel:

Wiki: ` http://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution

  1. http://www.jstatsoft.org/v16/i04/

  2. http://link.springer.com/article/10.1007/s00362-012-0429-2

  3. http://mrvar.fdv.uni-lj.si/pub/mz/mz1.1/cedilnik.pdf

Quantum
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Willkommen auf der Site @Quantum. Würde es Ihnen etwas ausmachen, eine kurze Zusammenfassung dieser Artikel zu geben, damit die Leser beurteilen können, ob sie das sind, wonach sie suchen, ohne jeden einzelnen Artikel öffnen und lesen zu müssen?
gung - Wiedereinsetzung von Monica
@gung Ja, es macht mir etwas aus ... Nur ein Scherz. Dies sind die neuesten Artikel zu diesem Thema, die nach meinem besten Wissen den Ausdruck für die Dichte von . Das Thema ist nicht so aktuell, daher ist es wahrscheinlich, dass diese Liste auf dem neuesten Stand ist, es sei denn, Sie lesen dies im Jahr 2527.Z=X/Y.
Quantum
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Quantum - Das geht @ gungs Anliegen nicht an. Nur-Link-Antworten sind normalerweise nicht akzeptabel. Gung hat gefragt, ob Sie "eine kurze Zusammenfassung dieser Papiere" geben könnten (was "in Ihrer Antwort" bedeutet). Ihre kollektive Beschreibung in einem Kommentar ist nicht ausreichend. Bitte beschreiben Sie jeden Link kurz (wenn möglich, einzeln, nicht zusammen) und geben Sie an, warum Sie ihn aufgenommen haben bzw. warum er relevant ist. So wie es aussieht, besteht die Gefahr, dass Ihre potenziell nützliche Antwort in einen Kommentar umgewandelt wird - wie dies bereits bei früheren Nur-Link-Antworten auf diese Frage der Fall war.
Glen_b
Ich verstehe nicht, warum die Erwartung des Verhältnisses nicht existiert. Wenn und Y gemeinsam mit einem von Null verschiedenen Mittelwert normalverteilt sind, ist der Mittelwert von Z = XXY. ist gegeben durchxZ=XY., was fehle ich? xyp(x,y)dxdy
Royi
Was Sie vermissen, ist die Tatsache, dass die Dichte von stetig und positiv bei Null ist, so dass schwere Schwänze erzeugt werden ...y
kjetil b halvorsen
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Verwenden Sie ein symbolisches Mathematikpaket wie Mathematica, wenn Sie eine Lizenz haben, oder Sage, wenn Sie keine haben.

Wenn Sie nur numerische Arbeiten ausführen, können Sie auch eine numerische Differenzierung in Betracht ziehen.

Obwohl es langweilig ist, sieht es einfach aus. Das heißt, alle beteiligten Funktionen verfügen über einfach zu berechnende Ableitungen. Sie können die numerische Differenzierung verwenden, um Ihr Ergebnis zu testen, wenn Sie fertig sind, um sicherzustellen, dass Sie die richtige Formel haben.

Dave31415
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μx

pratio <- function(z, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    sd_x <- sqrt(var_x)
    sd_y <- sqrt(var_y)

    a <- function(z) {
        sqrt(z*z/var_x+1/var_y)
    }

    b <- function(z) {
        mu_x*z/var_x + mu_y/var_y
    }

    c <- mu_x^2/var_x + mu_y^2/var_y

    d <- function(z) {
        exp((b(z)^2 - c*a(z)^2)/(2*a(z)^2))
    }


    t1 <- (b(z)*d(z)/a(z)^3)
    t2 <- 1.0/(sqrt(2*pi)*sd_x*sd_y)
    t3 <- pnorm(b(z)/a(z)) - pnorm(-b(z)/a(z))
    t4 <- 1.0/(a(z)^2*pi*sd_x*sd_y)
    t5 <- exp(-c/2.0)
    return(t1*t2*t3 + t4*t5)
}

# Integrates to 1, so probably no typos.
print(integrate(pratio, lower=-Inf, upper=Inf))

cdf_ratio <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    integrate(function(x) {pratio(x, mu_x, mu_y, var_x, var_y)}, 
        lower=-Inf, upper=x, abs.tol=.Machine$double.eps)$value
} 

# Numerical differentiation here is very easy:
derv_mu_x <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    eps <- sqrt(.Machine$double.eps)
    left <- cdf_ratio(x, mu_x+eps, mu_y, var_x, var_y)
    right <- cdf_ratio(x, mu_x-eps, mu_y, var_x, var_y)
    return((left - right)/(2*eps))
} 
AaronDefazio
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