Wenn und unabhängige Normalvariablen mit jeweils dem Mittelwert Null sind, ist ebenfalls eine Normalvariable

Ich versuche die Aussage zu beweisen:

Wenn und unabhängige Zufallsvariablen sind,$X\sim\mathcal{N}(0,\sigma_1^2)$$Y\sim\mathcal{N}(0,\sigma_2^2)$

dann ist $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$ auch eine normale Zufallsvariable.

Für den Sonderfall $\sigma_1=\sigma_2=\sigma$ (sagen wir) haben wir das bekannte Ergebnis, dass $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right)$ wenn $X$ und $Y$ unabhängige $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ -Variablen sind. Tatsächlich ist allgemeiner bekannt, dass $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$ sind unabhängige $\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right)$ Variablen.

Ein Beweis des letzten Ergebnisses folgt unter Verwendung der Transformation $(X,Y)\to(R,\Theta)\to(U,V)$ wobei $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$ und $u=\frac{r}{2}\sin(2\theta),v=\frac{r}{2}\cos(2\theta)$ . In der Tat ist hier $U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$ und $V=\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$ . Ich habe versucht, diesen Beweis für das vorliegende Problem nachzuahmen, aber es scheint chaotisch zu werden.

Wenn ich keinen Fehler gemacht habe, erhalte ich für $(u,v)\in\mathbb{R}^2$ die Gelenkdichte von $(U,V)$ als

Ich habe den Multiplikator oben, da die Transformation nicht eins zu eins ist.$2$

Die Dichte von würde also durch , was nicht ohne weiteres ausgewertet werden kann.$U$$\displaystyle \int_{\mathbb{R}}f_{U,V}(u,v)\,\mathrm{d}v$

Jetzt bin ich interessiert zu wissen, ob es einen Beweis gibt, bei dem ich nur mit und kein berücksichtigen muss, um zu zeigen, dass normal ist. Die CDF von sieht für mich im Moment nicht so vielversprechend aus. Dasselbe möchte ich auch für den Fall tun .$U$$V$$U$$U$$\sigma_1=\sigma_2=\sigma$

Das heißt, wenn und unabhängige möchte ich zeigen, dass ohne Änderung von Variablen. Wenn ich irgendwie argumentieren kann, dass , dann bin ich fertig. Also hier zwei Fragen, der allgemeine Fall und dann der besondere Fall.$X$$Y$$\mathcal{N}(0,\sigma^2)$$Z=\frac{2XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)$$Z\stackrel{d}{=}X$

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$X^2-Y^2/ \sqrt{X^2+Y^2}\sim N(0,1)$ wenn unabhängig voneinander$X,Y\sim N(0,1)$ .

Wenn iid , zeigen Sie, dass sind iid$X,Y$$N(0,1)$$\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$$N(0,\frac{1}{4})$ .

Bearbeiten.

Dieses Problem ist in der Tat auf L. Shepp zurückzuführen, wie ich in den Übungen von Eine Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und ihre Anwendungen (Band II) von Feller zusammen mit einem möglichen Hinweis herausgefunden habe:

Sicherlich ist und ich habe die Dichte von zur Hand.$U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X^2}+\frac{1}{Y^2}}}$$\frac{1}{X^2}$

Mal sehen, was ich jetzt tun kann. Abgesehen davon ist auch eine kleine Hilfe mit dem oben genannten Integral willkommen.

Die ursprüngliche Lösung des Problems von Shepp verwendet das Konzept des stabilen Rechtseigentums, das mir im Moment etwas fortgeschritten erscheint. Daher konnte ich den Hinweis in der Übung, die ich in meinem Beitrag zitiert habe, nicht verstehen. Ich denke, ein Beweis, der nur die einzelne Variable und keine Änderung von Variablen verwendet, ist schwierig zu finden. Daher teile ich drei Open-Access-Dokumente, die eine alternative Lösung für das Problem darstellen:$U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$

• Ein Hinweis zu normalen Funktionen normaler Zufallsvariablen

• Normale Funktionen normaler Zufallsvariablen

• Ein Ergebnis von Shepp

Der erste hat mich überzeugt, den Integrationspfad, den ich mit dieser Wahl der Variablen , um die Dichte von abzuleiten, nicht zu beschreiten . Es ist das dritte Papier, das wie etwas aussieht, dem ich folgen kann. Ich gebe hier eine kurze Skizze des Beweises:$V$$U$

Wir nehmen ohne Verlust der Allgemeinheit an und setzen . wir nun feststellen, dass und unabhängig sind, haben wir die gemeinsame Dichte von . Wir bezeichnen es mit .$\sigma_1^2=1$$\sigma_2^2=\sigma^2$$X^2\sim\chi^2_1$$\frac{Y^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_1$$(X^2,Y^2)$$f_{X^2,Y^2}$

Betrachten Sie die Transformation so, dass und . Wir haben also die Gelenkdichte von . Bezeichnen wir es mit . Nach dem Standardverfahren integrieren wir wrt in , um die Randdichte von .$(X^2,Y^2)\to(W,Z)$$W=\frac{X^2Y^2}{X^2+Y^2}$$Z=\frac{X^2+Y^2}{Y^2}$$(W,Z)$$f_{W,Z}$$f_{W,Z}$$z$$f_W$$W$

Wir finden, dass eine Gamma-Variable mit den Parametern und , so dass . Wir stellen fest, dass die Dichte von um symmetrisch ist . Dies impliziert, dass und damit .$W=U^2$$\frac{1}{2}$$2(1+\frac{1}{\sigma})^{-2}$$(1+\frac{1}{\sigma})^2\,W\sim\chi^2_1$$U$$0$$(1+\frac{1}{\sigma})U\sim\mathcal{N}(0,1)$$U\sim\mathcal{N}\left(0,\left(\frac{\sigma}{\sigma+1}\right)^2\right)$

demzufolge

Zwei normale Zufallsvariablen transformieren

$X=r\cos(\theta) \hspace{.5cm} Y=r\sin(\theta) \hspace{.5cm} X,Y \sim normal(0,1) \Leftrightarrow \theta \sim Uniform(0,2\pi) \hspace{.5cm} r^2\sim chi(2)$ . und sind unabhängig und sind unabhängig.
$X$$Y$$\Leftrightarrow$ $\theta$$r$

auch dass da $\sin(\theta) \sim \cos(\theta) \sim \sin(2\theta) \sim 2\sin(\theta) \cos(\theta) \sim \cos(2\theta) \sim \cos(2\theta) \sim f$$f(z) =\frac{1}{\pi \sqrt(1-z^2)} I_{[-1,1]}(z)$$z=\sin(\theta) \Rightarrow f(z)=|\frac{d}{dz} \sin^{-1}(z)| f_{\theta}(\sin^{-1}(z)) + |\frac{d}{dz} (\pi-\sin^{-1}(z))| f_{\theta}(\pi -\sin^{-1}(z)) =\frac{1}{\sqrt(1-z^2)} \frac{1}{2\pi} +\frac{1}{\sqrt(1-z^2)} \frac{1}{2\pi} =\frac{1}{\pi\sqrt(1-z^2)}$

ähnlich für andere.

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{2r^2 \cos(\theta) \sin(\theta)}{r}=2r \cos(\theta) \sin(\theta) =r \sin(2\theta) \sim r \sin(\theta) \sim N(0,1)$

so können wir zeigen:

$X= \sigma r \cos(\theta)$ und$Y=\sigma r \sin(\theta)$

so

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{2r^2 \sigma \sigma \cos(\theta) \sin(\theta)}{r \sigma}=2\sigma r \cos(\theta) \sin(\theta) =\sigma r \sin(2\theta)\sim \sigma r \sin(\theta)\sim \sigma N(0,1)=N(0,\sigma^2)$

unabhängig zu zeigen

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}= \sigma r \sin(\theta)$

$\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{r^2 \sigma^2 (\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta))}{2r\sigma} =\frac{1}{2} r \sigma (\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)) \sim \frac{1}{2} r \sigma \cos(2\theta)\sim \frac{1}{2} r \sigma \cos(\theta)$ und leicht zu sagen, dass sie unabhängig sind.