Frau A wählt zufällig eine Zahl aus der Gleichverteilung auf . Dann zeichnet Herr B wiederholt und unabhängig Zahlen

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Frau A wählt zufällig eine Zahl aus der Gleichverteilung auf . Dann zieht Herr B wiederholt und unabhängig die Zahlen aus der Gleichverteilung auf , bis er eine Zahl größer als erhält , und stoppt dann. Die erwartete Summe der Zahl, die Herr B bei zieht, ist gleich?X[0,1]Y1,Y2,...[0,1]X2X=x

Die Antwort darauf lautet . Ich habe die erwartete Anzahl von Ziehungen als indem ich als Zufallsvariable für die Anzahl von Ziehungen genommen habe, die der geometrischen Verteilung mit dem Parameter folgt . Aber ich weiß nicht, wie ich die erwartete Summe von berechnen soll . Jede Hilfe wäre dankbar.1(2x)ln4Zp=1x2Yi

Shreya Bhandari
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Antworten:

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Obwohl Sie kein self-studyTag hinzugefügt haben, gebe ich Ihnen zuerst zwei Hinweise und dann die vollständige Lösung. Sie können nach dem ersten oder zweiten Hinweis aufhören zu lesen und es selbst versuchen.

Tipp 1 :

Für wira(0,1)

m=0mam=a(1a)2

Tipp 2 :

Sei die Anzahl der von Herrn B. gezeichneten Zahlen. Und sei deine "Zielvariable" mit . Beachten Sie, dass dies eine Zufallsvariable ist, keine reelle Zahl (da eine Zufallsvariable ist). Dann ist nach dem Gesetz der totalen Erwartung .E ( Y 1 + + Y K | X = x ) Z K E ( Z ) = E ( E ( Z | K ) )KE(Y1++YK|X=x)ZKE(Z)=E(E(Z|K))

Vollständige Lösung :

p = 1 - xK folgt, wie Sie erwähnt haben, der geometrischen Verteilung mit der Erfolgswahrscheinlichkeit . Also ist E(Z)=E(E(Z|K))= k=1E(Z|K=k)P(K=k)p=1x2

E(Z)=E(E(Z|K))=k=1E(Z|K=k)P(K=k)

und .

P(K=k)=(1p)k1p=(x2)k1(1x2)

Konzentrieren wir uns auf . Es ist jetzt . Beachten Sie hier Kleinbuchstaben !!! Da ‚s unabhängig sind dies entspricht .E(Z|K=k)E(Y1++Yk|X=x,K=k)kY

E(Y1|X=x,K=k)++E(Yk|X=x,K=k)

Die Konditionierung auf und bedeutet, dass gleichmäßig von und gleichmäßig von gezeichnet werden. .X=xK=kY1,,Yk1[0,x2)Yk(x2,1]

Also ist

E(Y1|X=x,K=k)==E(Yk1|X=x,K=k)=x4

und

E(Yk|X=x,K=k)=1+x22=2+x4

Alles zusammen:

E(Z|K=k)=(k1)x4+2+x4

Und

E(Z)=k=1((k1)x4+2+x4)P(K=k)=k=1(k1)x4P(K=k)+k=12+x4P(K=k)

Der zweite Teil ist einfach (die letzte Gleichheit verwendet die Tatsache, dass die Summe der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion 1 ergibt):

k=12+x4P(K=k)=2+x4k=1P(K=k)=2+x4

Um dies zu erhalten, können Sie auch die Tatsache verwenden, dass Herr B immer eine letzte Zahl von zieht , unabhängig davon, welchen Wert hat.(x2,1]K

Der erste Teil ist nur ein bisschen schwieriger:

k=1(k1)x4P(K=k)=k=1(k1)x4(x2)k1(1x2)

Verschieben Sie alles, was nicht von abhängt, in die Summe, um Folgendes zu erhalten:k

x4(1x2)k=1(k1)(x2)k1

Führen Sie : m=k1

x4(1x2)m=0m(x2)m

Verwenden Sie Hinweis 1 mit : a=x2

x4(1x2)x2(1x2)2

Um endlich

x28(1x2)=x28(2x2)=x24(2x)

Und füge den zweiten Teil hinzu (den einfachen):

x24(2x)+2+x4=x24(2x)+(2+x)(2x)4(2x)=x2+(4x2)4(2x)=44(2x)=12x

WHOAH !!!!

Łukasz Deryło
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Genius!!!! Ich bin mehr als dankbar! : D
Shreya Bhandari
Gern geschehen. Ja wirklich. Ich habe dieses "Rätsel" ☺
Łukasz Deryło
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Ein weiterer Lösungswinkel (Summierung nicht mit P (K = k), sondern mit P (K> = k)):

E(Yk)=E(Yk)=k=1E(Yk|K>=k)P(K>=k)=k=012(x2)k=12x
Sextus Empiricus
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Könnten Sie näher darauf eingehen? Ich habe die Arbeit nicht bekommen
Shreya Bhandari
Sie werden einen k-ten Draw in einem Bruchteil der Zeit machen, und in diesem Bruchteil der Zeit wird es 1/2 zum beitragen erwarteter Wert der Summe. Sie können den Wert von als eine Mischungsverteilung einer gleichmäßigen Verteilung (zwischen 0 und 1, wenn es gezeichnet wird) und eines konstanten Werts (0, wenn es nicht gezeichnet wird) sehen. (x2)k1Yk
E(Yk)=12(x2)k1
Sextus Empiricus
Okay, helfen Sie mir, dies zu verstehen. Wenn Sie den Fall 'gleich' in die Ungleichung einbeziehen, sollte den Erfolg von (mit der Wahrscheinlichkeit ) und nicht nur die Fehler (mit der Wahrscheinlichkeit ), die zuvor aufgetreten sind? P(Kk)Kth1x2k1x2
Shreya Bhandari
Es beinhaltet sowohl die Möglichkeit von Erfolg als auch Misserfolg
0.5(1x2)+0.5(x2)
Sextus Empiricus
Die Formel ist seltsam, da von abhängt . Y k kk=1E(Yk|K>=k)P(K>=k)Ykk
Stéphane Laurent