(Bitte entschuldigen Sie sich im Voraus für die Verwendung der Laiensprache anstelle der statistischen Sprache.)
Wenn ich die Wahrscheinlichkeit messen möchte, dass jede Seite eines bestimmten physischen sechsseitigen Würfels mit hinreichender Sicherheit auf +/- 2% gewürfelt wird, wie viele Musterwürfeln wären erforderlich?
Dh wie oft müsste ich einen Würfel werfen, wobei jedes Ergebnis gezählt wird, um zu 98% sicher zu sein, dass die Chancen, dass jede Seite gewürfelt wird, zwischen 14,6% und 18,7% liegen? (Oder ähnliche Kriterien, bei denen man zu 98% sicher ist, dass der Würfel innerhalb von 2% liegt.)
(Dies ist eine reale Angelegenheit für Simulationsspiele, bei denen Würfel verwendet werden und bei denen sichergestellt werden soll, dass bestimmte Würfelentwürfe eine annehmbare Wahrscheinlichkeit von 1/6 haben. Es wird behauptet, dass bei vielen gängigen Würfelentwürfen das Würfeln um 29% 1 gemessen wurde mehrere solcher Würfel jeweils 1000-mal würfeln.)
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Antworten:
TL; DR: wenn = 1/6 und Sie wollen wissen , wie groß Bedürfnisse 98% sicher sein , die Würfel fair (innerhalb von 2%), Bedürfnisse werden mindestens ≥ 766 .p n n n
Sei die Anzahl der Rollen und die Anzahl der Rollen, die auf einer bestimmten Seite landen. Dann folgt einer Binomialverteilung (n, p), wobei die Wahrscheinlichkeit ist, diese spezifizierte Seite zu erhalten.n X X p
Nach dem zentralen Grenzwertsatz wissen wir das
Da der Stichprobenmittelwert von Bernoulli Zufallsvariablen ist. Daher können für große Konfidenzintervalle für wie folgt konstruiert werdenX/n n (p) n p
Da unbekannt ist, können wir es durch den Stichprobenmittelwert ersetzen und durch verschiedene Konvergenzsätze wissen wir, dass das resultierende Konfidenzintervall asymptotisch gültig ist. So erhalten wir Konfidenzintervalle der Formp p = X / np^=X/n
mit . Ich gehe davon aus, dass Sie wissen, was Scores sind. Wenn Sie beispielsweise ein Konfidenzintervall von 95% wünschen, nehmen Sie . Also haben wir für ein gegebenes Konfidenzniveaup^=X/n Z Z=1.96 α
Angenommen, Sie möchten, dass dieses Konfidenzintervall kürzer als , und möchten wissen, wie groß eine Stichprobe ist, die wir für diesen Fall benötigen. Nun, dies ist gleichbedeutend mit der Frage, was erfülltCα nα
Was ist dann gelöst zu erhalten
Geben Sie also Ihre Werte für , und Estimated , um eine Abschätzung für . Da unbekannt ist, handelt es sich nur um eine Schätzung, asymptotisch (wenn größer wird) sollte es jedoch genau sein.Zα Cα p^ nα p n
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