Was bedeutet es zu sagen, dass

Eine Übungsfrage stellt

Sei $X_1, X_2$ rvs mit einer gemeinsamen Normalverteilung $N(0,1)$ mit $\operatorname{Corr}(X_1, X_2) = \rho$ . Berechnen Sie den Koeffizienten der Abhängigkeit des oberen Schwanzes für alle $\rho \in [-1, 1]$ .

Was bedeutet es damit, dass sie eine "gemeinsame" Normalverteilung haben?

Mein erster Gedanke war, dass sowohl $X_1$ als auch $X_2$ univariate normale $N(0,1)$ verteilte Variablen sind. Wenn dies jedoch zutrifft, ist die Frage nicht sinnvoll. Die Schwanzabhängigkeit kann nicht berechnet werden.

Ich muss also glauben, dass mit "gemeinsamer" Normalverteilung die bivariate Normalverteilung gemeint ist.

Es bedeutet, dass zwei Dinge wahr sind.

Zuerst:

$$P(X_1 < t) = P(X_2 < t)$$

für alle reellen Zahlen $t$ ( das heißt, $X_1$ und $X_2$ haben die gleiche Verteilung, oft der Kurzschrift gleichmäßig verteilt eingesetzt wird , diesen Zustand zu beschreiben).

Zweite:

$$P(X_1 < t) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^t e^{\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}} \,\text{d}x$$

$\mu$$\sigma$$X_1$

$(X_1, X_2)$

$X_2$

$\text{N}(0,1)$

$$\begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} \sim \text{N} \Big( \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{bmatrix} \Big).$$

$X \sim \text{N}(0,1)$$Y \sim \text{N}(0,1)$

Die Übung ist schlecht formuliert. Ich vermute, was damit gemeint ist, dass die beiden Zufallsvariablen gemeinsam normal sind und eine gemeinsame Verteilung haben. Wenn sie separat normal, aber nicht gemeinsam normal sind, haben Sie nicht genügend Informationen, um die Frage zu beantworten. Wenn mein Verdacht richtig ist, sollte die Übung gesagt haben, dass sie gemeinsam normal sind.

Eine "gemeinsame" Verteilung bedeutet einfach, dass beide dieselbe Verteilung haben. Also:

$$\begin{align} \require{cancel} & \left[ \begin{array}{l} X_1 \\ X_2 \end{array} \right] \sim \xcancel{\operatorname N\left( \left[ \begin{array}{l} \mu_1 \\ \mu_2 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} \sigma_1^2 & \rho \sigma_1\sigma_2 \\ \rho\sigma_1\sigma_2 & \sigma_2^2 \end{array} \right] \right)} & & \longleftarrow \text{ not common} \\[10pt] & \left[ \begin{array}{l} X_1 \\ X_2 \end{array} \right] \sim \operatorname N\left( \left[ \begin{array}{l} \mu \\ \mu \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} \sigma^2 & \rho \sigma^2 \\ \rho\sigma^2 & \sigma^2 \end{array} \right] \right) & & \longleftarrow\text{ common} \end{align}$$ $X_i\sim\operatorname N(\mu,\sigma^2)$ für also ist jeder normalverteilt und sie haben diese Normalverteilung gemeinsam.$i=1,2,$