Wenn 'B eher mit A gegeben ist', dann ist 'A eher mit B gegeben'

Ich versuche , eine klarere Intuition zu bekommen hinter: „Wenn macht B wahrscheinlicher , dann B macht einen eher“ , dh$A$$B$$B$$A$

Lassen $n(S)$ die Größe des Raumes bezeichnet , in der $A$ und $B$ sind, dann

Anspruch: $P(B|A)>P(B)$ also $n(AB)/n(A) > n(B)/n(S)$

also $n(AB)/n(B) > n(A)/n(S)$

welches $P(A|B)>P(A)$

Ich verstehe die Mathematik, aber warum macht das intuitiv Sinn?

Aus intuitiver Sicht sind Beispiele aus der Praxis wie Peter Flom für manche Menschen am hilfreichsten. Die andere Sache, die Menschen normalerweise hilft, sind Bilder. Um die meisten Grundlagen abzudecken, lassen Sie uns einige Bilder machen.

Was wir hier haben, sind zwei sehr grundlegende Diagramme, die Wahrscheinlichkeiten zeigen. Das erste zeigt zwei unabhängige Prädikate, die ich Rot und Ebene nennen werde. Es ist klar, dass sie unabhängig sind, weil die Linien ausgerichtet sind. Der Anteil der roten Fläche ist gleich dem Anteil der roten Streifenfläche und entspricht auch dem Gesamtanteil der roten Fläche.

Im zweiten Bild haben wir nicht unabhängige Verteilungen. Insbesondere haben wir einen Teil des einfachen roten Bereichs in den gestreiften Bereich erweitert, ohne die Tatsache zu ändern, dass er rot ist. Rot zu sein macht es also wahrscheinlicher, einfach zu sein.

Schauen Sie sich in der Zwischenzeit die einfache Seite dieses Bildes an. Offensichtlich ist der Anteil des einfachen Bereichs, der rot ist, größer als der Anteil des gesamten Bildes, das rot ist. Das liegt daran, dass die Ebene mehr Fläche hat und alles rot ist.

Rot macht also die Wahrscheinlichkeit wahrscheinlicher, und Rot macht Rot wahrscheinlicher.

Was passiert hier eigentlich? A ist ein Beweis für B (dh A macht B wahrscheinlicher), wenn der Bereich, der sowohl A als auch B enthält, größer ist als vorhergesagt, wenn sie unabhängig wären. Da der Schnittpunkt zwischen A und B der gleiche ist wie der Schnittpunkt zwischen B und A, bedeutet dies auch, dass B ein Beweis für A ist.

Ein Hinweis zur Vorsicht: Obwohl das obige Argument sehr symmetrisch erscheint, kann es sein, dass die Beweiskraft in beiden Richtungen nicht gleich ist. Betrachten Sie zum Beispiel dieses dritte Bild. Hier ist dasselbe passiert: Normales Rot hat Gebiete aufgefressen, die zuvor zu gestreiftem Rot gehörten. In der Tat hat es den Job vollständig beendet!

Beachten Sie, dass der Punkt, der direkt rot ist, die Klarheit garantiert, da keine gestreiften roten Bereiche mehr vorhanden sind. Ein klarer Punkt hat jedoch keine Rötung garantiert, da noch grüne Bereiche übrig sind. Trotzdem erhöht ein Punkt in der Box, der einfach ist, die Wahrscheinlichkeit, dass er rot ist, und ein Punkt, der rot ist, erhöht die Wahrscheinlichkeit, dass er einfach ist. Beide Richtungen implizieren eher, nur nicht um den gleichen Betrag.

Ich denke, eine andere mathematische Art, es auszudrücken, könnte helfen. Betrachten Sie die Behauptung im Kontext der Bayes-Regel:

Behauptung: Wenn dann ist$P(B|A)>P(B)$$P(A|B) > P(A)$

Bayes-Regel:

unter der Annahme, dass ungleich Null ist. Somit$P(B)$

Wenn , dann ist .$P(B|A)>P(B)$$\frac{P(B|A)}{P(B)} > 1$

Dann ist und damit .$\frac{P(A|B)}{P(A)} > 1$$P(A|B) > P(A)$

Dies beweist die Behauptung und eine noch stärkere Schlussfolgerung - dass die jeweiligen Anteile der Wahrscheinlichkeiten gleich sein müssen.

Nun, ich mag das Wort "macht" in der Frage nicht. Das impliziert eine Art von Kausalität und Kausalität kehrt sich normalerweise nicht um.

Aber Sie haben um Intuition gebeten. Ich würde also über einige Beispiele nachdenken, denn das scheint die Intuition zu entfachen. Wählen Sie eine aus, die Ihnen gefällt:

Wenn eine Person eine Frau ist, ist es wahrscheinlicher, dass die Person für einen Demokraten gestimmt hat.
Wenn eine Person für einen Demokraten gestimmt hat, ist es wahrscheinlicher, dass es sich bei der Person um eine Frau handelt.

Wenn ein Mann ein professionelles Basketballzentrum ist, ist es wahrscheinlicher, dass er über 2 Meter groß ist.
Wenn ein Mann über 2 Meter groß ist, ist es wahrscheinlicher, dass er ein Basketballzentrum ist.

Wenn es über 40 Grad Celsius ist, ist es wahrscheinlicher, dass es zu einem Stromausfall kommt.
Wenn es einen Stromausfall gegeben hat, ist es wahrscheinlicher, dass er über 40 Grad liegt.

Und so weiter.

Um die Antwort von @Dasherman hinzuzufügen: Was kann es bedeuten zu sagen, dass zwei Ereignisse miteinander verbunden oder möglicherweise verbunden oder korreliert sind ? Vielleicht könnten wir für eine Definition die gemeinsame Wahrscheinlichkeit vergleichen (Angenommen ): Wenn also größer als eins ist, treten und häufiger zusammen auf als unter Unabhängigkeit. Dann können wir sagen, dass und positiv miteinander verbunden sind.$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \P(A)>0, \P(B)>0$

Unter Verwendung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ist nun eine einfache Folge von . Aber ist in und vollständig symmetrisch (das Vertauschen aller Vorkommen des Symbols mit und umgekehrt) lässt die gleichen Formeln ist also auch äquivalent zu . Das ergibt das Ergebnis. Die Intuition, nach der Sie fragen, ist also, dass in und symmetrisch ist .$\frac{\P(A \cap B)}{\P(A) \P(B)}>1$$\P(B \mid A) > \P(B)$$\frac{\P(A \cap B)}{\P(A) \P(B)}$$A$$B$$A$$B$$\P(A \mid B) > \P(A)$$\eta(A,B)$$A$$B$

Die Antwort von @gunes gab ein praktisches Beispiel, und es ist einfach, andere auf die gleiche Weise zu machen.

Wenn A B wahrscheinlicher macht, bedeutet dies, dass die Ereignisse irgendwie zusammenhängen. Diese Beziehung funktioniert in beide Richtungen.

Wenn A B wahrscheinlicher macht, bedeutet dies, dass A und B dazu neigen, zusammen zu passieren. Dies bedeutet dann, dass B auch A wahrscheinlicher macht.

Wenn A B wahrscheinlicher macht, hat A entscheidende Informationen, die B über sich selbst ableiten kann. Trotz der Tatsache, dass es möglicherweise nicht den gleichen Betrag beisteuert, gehen diese Informationen nicht umgekehrt verloren. Schließlich haben wir zwei Ereignisse, deren Auftreten sich gegenseitig unterstützen. Ich kann mir kein Szenario vorstellen, in dem das Auftreten von A die Wahrscheinlichkeit von B erhöht und das Auftreten von B die Wahrscheinlichkeit von A verringert. Wenn es beispielsweise regnet, ist der Boden mit hoher Wahrscheinlichkeit nass, und wenn der Boden ist nass bedeutet es nicht, dass es geregnet hat, aber es verringert nicht die Chancen.

Sie können die Mathematik intuitiver gestalten, indem Sie sich eine Kontingenztabelle vorstellen.

$\begin{array}{cc} \begin{array}{cc|cc} && A & \lnot A & \\ &a+b+c+d & a+c & b+d \\\hline B& a+b& a & b \\ \lnot B & c+d& c & d \\ \end{array} \end{array}$

• Wenn und unabhängig sind, sind die gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten Produkte der Grenzwahrscheinlichkeiten$A$$B$

  $$\begin{array}{cc} \begin{array}{cc|cc} && A & \lnot A & \\ &1 & x & 1-x \\\hline B& y& a=xy & b=(1-x)y \\ \lnot B & 1-y& c=x (1-y) & d=(1-x)(1-y)\\ \end{array} \end{array}$$ $P (A) = P (A|B)$$P (B)=P (B|A)$

• $a,b,c,d$$\pm z$

  $$\begin{array}{cc} \begin{array}{cc|cc} && A & \lnot A & \\ &1 & x & 1-x \\\hline B& y& a+z & b-z \\ \lnot B & 1-y& c-z & d+z\\ \end{array} \end{array}$$

  $z$

  $P(A|B) \neq P(A)$$P(B|A) \neq P(B)$$>$$z$$<$$z$

$P(A|B) > P(A)$$P(B|A) > P(B)$$P(B,A) > P (A) P (B)$

Wenn A und B häufig zusammen auftreten (die gemeinsame Wahrscheinlichkeit ist höher als das Produkt der Grenzwahrscheinlichkeiten), erhöht die Beobachtung der einen die (bedingte) Wahrscheinlichkeit der anderen.

Angenommen, wir bezeichnen das Verhältnis von posteriorer zu vorheriger Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses als:

Dann ist ein alternativer Ausdruck des Bayes-Theorems (siehe diesen verwandten Beitrag ):

$^\dagger$$B$$A$$A$$B$

$^\dagger$$A$$B$$\text{do}$

Ihnen wird gesagt, dass Sam eine Frau und Kim ein Mann ist und einer der beiden Make-up trägt und der andere nicht. Wer von ihnen trägt wohl Make-up?

Man sagt dir, dass Sam geschminkt ist und Kim nicht, und einer der beiden ist ein Mann und einer eine Frau. Wen würdest du vermuten, ist die Frau?

Es scheint eine gewisse Verwechslung zwischen Kausalität und Korrelation zu geben. In der Tat ist die Fragestellung für die Kausalität falsch, wie ein Beispiel wie das folgende zeigt:

• Wenn ein Hund einen Schal trägt, handelt es sich um ein domestiziertes Tier.

Folgendes ist nicht wahr:

• Ein domestiziertes Tier mit einem Schal zu sehen, bedeutet, dass es ein Hund ist.
• Wenn man einen domestizierten Hund sieht, trägt er einen Schal.

Wenn Sie jedoch an Wahrscheinlichkeiten (Korrelation) denken, dann ist es wahr:

• Hunde, die Schals tragen, sind mit größerer Wahrscheinlichkeit ein domestiziertes Tier als Hunde, die keine Schals tragen (oder Tiere im Allgemeinen).

Folgendes ist wahr:

• Ein domestiziertes Tier, das einen Schal trägt, ist eher ein Hund als ein anderes Tier.
• Ein domestizierter Hund trägt eher einen Schal als ein nicht domestizierter Hund.

Wenn dies nicht intuitiv ist, denken Sie an einen Pool von Tieren, einschließlich Ameisen, Hunden und Katzen. Hunde und Katzen können beide domestiziert sein und Schals tragen, Ameisen auch nicht.

1. Wenn Sie die Wahrscheinlichkeit von domestizierten Tieren in Ihrem Pool erhöhen, bedeutet dies auch, dass Sie die Wahrscheinlichkeit erhöhen, ein Tier mit einem Schal zu sehen.
2. Wenn Sie die Wahrscheinlichkeit von Katzen oder Hunden erhöhen, erhöht sich auch die Wahrscheinlichkeit, dass ein Tier einen Schal trägt.

Domestiziert zu sein ist die "geheime" Verbindung zwischen dem Tier und dem Tragen eines Schals, und diese "geheime" Verbindung wird ihren Einfluss in beide Richtungen ausüben.

Bearbeiten: Geben Sie ein Beispiel für Ihre Frage in den Kommentaren:

Stellen Sie sich eine Welt vor, in der Tiere entweder Katzen oder Hunde sind. Sie können entweder domestiziert sein oder nicht. Sie können einen Schal tragen oder nicht. Stellen Sie sich vor, es gibt insgesamt 100 Tiere, 50 Hunde und 50 Katzen.

Betrachten Sie nun die Aussage A als: " Hunde, die Schals tragen, sind dreimal so häufig ein domestiziertes Tier wie Hunde, die keine Schals tragen. "

Wenn A nicht wahr ist, können Sie sich vorstellen, dass die Welt aus 50 Hunden bestehen könnte, von denen 25 domestiziert sind (von denen 10 Schals tragen), von denen 25 wild sind (von denen 10 Schals tragen). Gleiche Statistiken für Katzen.

Wenn Sie dann ein domestiziertes Tier auf dieser Welt sehen würden, hätte es eine 50% ige Chance, ein Hund zu sein (25/50, 25 Hunde von 50 domestizierten Tieren) und eine 40% ige Chance, einen Schal zu haben (20/50, 10 Hunde) und 10 Katzen von 50 domestizierten Tieren).

Wenn A jedoch wahr ist, dann haben Sie eine Welt, in der es 50 Hunde gibt, von denen 25 domestiziert sind (von denen 15 Schals tragen ), 25 wild (von denen 5 Schals tragen ). Katzen behalten die alten Statistiken bei: 50 Katzen, von denen 25 domestiziert sind (von denen 10 Schals tragen), 25 wild (von denen 10 Schals tragen).

Wenn Sie dann ein domestiziertes Tier auf dieser Welt sehen würden, hätte es die gleiche 50% ige Chance, ein Hund zu sein (25/50, 25 Hunde von 50 domestizierten Tieren), aber 50% (25/50, 15 Hunde und 10 Katzen von 50 domestizierten Tieren).

Wie Sie sehen können, wenn Sie sagen, dass A wahr ist, dann wäre es, wenn Sie ein domestiziertes Tier mit einem Schal auf der Welt sehen würden, wahrscheinlicher ein Hund (60% oder 15/25) als jedes andere Tier (in diesem Fall) Katze, 40% oder 10/25).

Hier besteht eine Verwechslung zwischen Kausalität und Korrelation. Also gebe ich Ihnen ein Beispiel, wo genau das Gegenteil passiert.

Manche Menschen sind reich, manche arm. Einige arme Menschen erhalten Leistungen, was sie weniger arm macht. Aber Menschen, die Leistungen erhalten, sind immer noch eher arm, selbst wenn sie Leistungen erhalten.

Wenn Sie Vorteile erhalten, ist es wahrscheinlicher, dass Sie sich Kinokarten leisten können. ("Macht es wahrscheinlicher" bedeutet Kausalität). Wenn Sie sich jedoch Kinokarten leisten können, ist es weniger wahrscheinlich, dass Sie zu den Menschen gehören, die arm genug sind, um Vorteile zu erhalten. Wenn Sie sich also Kinokarten leisten können, ist es weniger wahrscheinlich, dass Sie Vorteile erhalten.

Die Intuition wird klar, wenn Sie sich die stärkere Aussage ansehen:

Wenn A B impliziert, macht B A wahrscheinlicher.

Implication:
  A true  -> B true
  A false -> B true or false
Reverse implication:
  B true  -> A true or false
  B false -> A false

Offensichtlich ist A eher wahr, wenn bekannt ist, dass B auch wahr ist, denn wenn B falsch wäre, wäre dies auch A. Die gleiche Logik gilt für die schwächere Aussage:

Wenn A B wahrscheinlicher macht, dann macht B A wahrscheinlicher.

Weak implication:
  A true  -> B true or (unlikely) false
  A false -> B true or false
Reverse weak implication:
  B true  -> A true or false
  B false -> A false or (unlikely) true

$P(successful|Alice)>P(successful)$$P(Alice|successful)>P(Alice)$

Oder nehmen wir an, es gibt eine Schule, die 10% der Schüler in ihrem Schulbezirk hat, aber 15% der Straight-A-Schüler. Dann ist der Prozentsatz der Schüler an dieser Schule, die Straight-A-Schüler sind, eindeutig höher als der bezirksweite Prozentsatz.

$P(A\&B)>P(A)P(B)$$A$$B$