Gibt es Asymptotika dritter Ordnung?

Die meisten asymptotischen Ergebnisse in Statistiken belegen, dass ein Schätzer (wie der MLE) mit zu einer Normalverteilung konvergiert, die auf einer Taylor-Erweiterung zweiter Ordnung der Wahrscheinlichkeitsfunktion basiert. Ich glaube, es gibt ein ähnliches Ergebnis in der Bayes'schen Literatur, den "Bayes'schen zentralen Grenzwertsatz", der zeigt, dass der Posterior asymptotisch zu einer Normalen wie n → ∞ konvergiert$n \rightarrow \infty$$n \rightarrow \infty$

Meine Frage ist: Konvergiert die Verteilung "bevor" sie normal wird, basierend auf dem dritten Term in der Taylor-Reihe? Oder ist das überhaupt nicht möglich?

Sie suchen nach der Edgeworth-Serie, nicht wahr?

http://en.wikipedia.org/wiki/Edgeworth_series#Edgeworth_series

(Beachten Sie, dass Edgeworth im Jahr 1926 starb, sollte in den berühmtesten Statistiker sein?)

Es ist nicht möglich, dass eine Sequenz zu einer Sache und dann zu einer anderen "konvergiert". Die Terme höherer Ordnung in einer asymptotischen Expansion gehen auf Null. Was sie Ihnen sagen, ist, wie nahe sie für einen gegebenen Wert von bei Null sind .$n$

$n$$n$$n^{1/2}$$m^\text{th}$$m^\text{th}$$(n^{1/2})^m = n^{m/2}$$n$$m^\text{th}$$n/n^{m/2} = n^{-(m-2)/2}$$1/n^{1/2}$$1/n$, und so weiter. Dies sind die Terme höherer Ordnung. (Einzelheiten finden Sie beispielsweise in diesem Artikel von Yuval Filmus .)

$n$$n$$n$$n$$1/n^{1/2}$$1/n$Begriff ist eine kleinere, schneller verschwindende Korrektur, die hinzugefügt wird, und so weiter. Kurz gesagt, die zusätzlichen Begriffe geben Ihnen ein Bild davon, wie schnell die Sequenz an ihre Grenzen stößt.

Diese zusätzlichen Terme können uns helfen, Korrekturen für endliche (normalerweise kleine) Werte von vorzunehmen$n$ . Sie tauchen in dieser Hinsicht immer wieder auf, wie beispielsweise Chens Modifikation des t-Tests , bei der die dritte Ordnung ausgenutzt wird ($1/n^{1/2}$) Begriff.

Hier ist ein Versuch, Ihre aufschlussreiche Frage zu beantworten. Ich habe die Einbeziehung des 3. Terms der Taylor-Reihe gesehen, um die Geschwindigkeit der Konvergenz der Reihe zur wahren Verteilung zu erhöhen. Ich habe jedoch (nach meiner begrenzten Erfahrung) die Verwendung von dritten und höheren Momenten nicht gesehen.

Wie John D. Cook in seinen Blogs ( hier und hier ) hervorhob, wurde in dieser Richtung abgesehen vom Berry-Esseen-Theorem nicht viel gearbeitet . Meine Vermutung wäre (aus der Beobachtung im Blog über den Approximationsfehler, der von begrenzt wird)$n^{1/2}$), da die asymptotische Normalität von mle mit einer Konvergenzrate von garantiert wird $n^{1/2}$ ($n$Wenn höhere Momente berücksichtigt werden, verbessert sich das Normalitätsergebnis nicht.

Daher sollte die Antwort auf Ihre Frage wohl nein sein . Die asymptotische Verteilung konvergiert gegen eine normale Dist. (Nach CLT, unter Regularitätsbedingungen nach Lindberg's CLT). Die Verwendung von Termen höherer Ordnung kann jedoch die Konvergenzrate zur asymptotischen Verteilung erhöhen.

Auf jeden Fall nicht meine Gegend, aber ich bin mir ziemlich sicher, dass es Asymptoten dritter und höherer Ordnung gibt. Hilft das?

Robert L. Strawderman. Geordnete Asymptotic Approximation: Laplace, Sattelpunktapproximation und verwandte Methoden Journal of the American Statistical Association Vol. 95, Nr. 452 (Dez. 2000), S. 1358-1364