Was ist falsch an meinem Beweis des Gesetzes der totalen Varianz?

9

Nach dem Gesetz der Gesamtvarianz ist

Var(X)=E(Var(XY))+Var(E(XY))

Wenn ich es beweisen will, schreibe ich

Var(X)=E(XEX)2=E{E[(XEX)2Y]}=E(Var(XY))

Was stimmt damit nicht?

Nalzok
quelle

Antworten:

6

Die dritte Zeile ist falsch, da Sie in der zweiten Zeile nicht . Wenn zum Beispiel Bernoulli (1/2) und 1 ist, wenn 1 ist, und -1, wenn 0 ist, dann (das ist, was Sie wollen), weil vollständig informativ über , aber was Sie haben, gibt Ihnen .E[X|Y]YXYYE[(XE[X|Y])2|Y]=0Y X E [ ( X - E [ X ] ) 2 | Y ] = E [ ( X - 0 ) 2 | Y ] = E [ X 2| Y ] = 1 0YXE[(XE[X])2|Y]=E[(X0)2|Y]=E[X2|Y]=10

Ich werde nicht lügen, du hattest mich befragt und ich musste ein bisschen darauf starren, bevor es mich traf, obwohl ich mir LOTV milliardenfach beweisen musste: P.

Sheridan Grant
quelle
9

Der Übergang von der zweiten zur dritten Zeile folgt nicht. Seit Sie:E(X)E(X|Y)

E[(XE(X))2|Y]E[(XE(X|Y))2|Y]=E[V(X|Y)].

In dem Sonderfall, in dem für alle gilt, würde Ihre Arbeit und Ihr Ergebnis gelten und wäre ein Sonderfall von das allgemeinere Ergebnis.E(X)=E(X|Y=y)yR

Ben - Monica wieder einsetzen
quelle
4

Var(X)=E(XEX)2=E(E[(XEX)2Y])E(E[(XE(XY))2]Y)=E(Var(XY))

Michael Hardy
quelle