Zentrale Momente symmetrischer Verteilungen

Ich versuche zu zeigen, dass das zentrale Moment einer symmetrischen Verteilung: für ungerade Zahlen Null ist. So zum Beispiel das dritte zentrale MomentIch habe zunächst versucht zu zeigen, dassIch bin mir nicht sicher, wohin ich von hier aus gehen soll, irgendwelche Vorschläge? Gibt es einen besseren Weg, dies zu beweisen?E [ ( X - u ) 3 ] = 0 . E [ ( X - u ) 3 ] = E [ X 3 ] - 3 u E [ X 2 ] + 3 u 2 E [ X ] - u

$${\bf f}_x{\bf (a+x)} = {\bf f}_x{\bf(a-x)}$$ $${\bf E[(X-u)^3] = 0}.$$ $${\bf E[(X-u)^3] = E[X^3] -3uE[X^2] + 3u^2E[X] - u^3}.$$

Diese Antwort zielt darauf ab, eine Demonstration zu machen, die so elementar wie möglich ist, da solche Dinge häufig zur wesentlichen Idee gelangen. Die einzigen Fakten, die benötigt werden (jenseits der einfachsten Art algebraischer Manipulationen), sind die Linearität der Integration (oder gleichwertig der Erwartung), die Formel zur Änderung der Variablenformel für Integrale und das axiomatische Ergebnis, das ein PDF zur Einheit integriert.

Motivierend für diese Demonstration ist die Intuition, dass, wenn symmetrisch zu , der Beitrag einer beliebigen Größe zur Erwartung das gleiche Gewicht hat wie die Größe , weil und auf gegenüberliegenden Seiten von und gleich weit davon entfernt sind. Vorausgesetzt also, dass für alle , bricht alles ab und die Erwartung muss Null sein. Die Beziehung zwischen und ist also unser Ausgangspunkt.$f_X$$a$$G(x)$$\mathbb{E}_X(G(X))$$G(2a-x)$$x$$2a-x$$a$$G(x) = -G(2a-x)$$x$$x$$2a-x$

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Beachten Sie, indem Sie schreiben , dass die Symmetrie genauso gut durch die Beziehung ausgedrückt werden kann$y = x + a$

$$f_X(y) = f_X(2a-y)$$

für alle . Für jede meßbare Funktion , die eine Eins-zu-Eins - Änderung der Variablen von bis ändert zu , während die Richtung der Integration Umkehren, was impliziert ,$y$$G$$x$$2a-x$$dx$$-dx$

$$\mathbb{E}_X(G(X)) = \int G(x) f_X(x)dx = \int G(x) f_X(2a - x)dx = \int G(2a-x)f_X(x)dx.$$

Unter der Annahme, dass diese Erwartung besteht (dh das Integral konvergiert), impliziert die Linearität des Integrals

$$\int \left(G(x) - G(2a - x)\right)f_X(x)dx = 0.$$

Betrachten Sie die ungeraden Momente um , die als die Erwartungen von , . In diesen Fällen$a$$G_{k,a}(X) = (X-a)^k$$k = 1, 3, 5, \ldots$

$$\eqalign{ G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a-x) &= (x-a)^k - (2a-x-a)^k \\&= (x-a)^k - (a-x)^k \\ &= (1^k - (-1)^k)(x-a)^k \\&= 2(x-a)^k,}$$

gerade weil ungerade ist. Das Anwenden des vorhergehenden Ergebnisses ergibt$k$

$$0 = \int \left(G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a - x)\right)f_X(x)dx = 2\int (x-a)^k f_X(x)dx.$$

Da die rechte Seite das doppelte te Moment um , zeigt das Teilen durch , dass dieses Moment Null ist, wann immer es existiert.$k$$a$$2$

Schließlich ist der Mittelwert (vorausgesetzt, er existiert)

$$\mu_X = \mathbb{E}_X(X) = \int x f_X(x)dx = \int (2a-x)f_X(x)dx.$$

Unter erneuter Ausnutzung der Linearität und unter Hinweis darauf, dass weil eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, können wir die letzte zu lesende Gleichheit neu anordnen$\int f_X(x)dx=1$$f_X$

$$2\mu_X = 2\int x f_X(x)dx = 2a\int f_X(x)dx = 2a\times 1 = 2a$$

mit der eindeutigen Lösung . Daher sind alle unsere früheren Berechnungen von Momenten um wirklich die zentralen Momente, QED.$\mu_X = a$$a$

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Nachwort

Die Notwendigkeit, an mehreren Stellen durch zu teilen, hängt mit der Tatsache zusammen, dass eine Gruppe der Ordnung auf die messbaren Funktionen einwirkt (nämlich die Gruppe, die durch die Reflexion in der Linie um ). Allgemeiner kann die Idee einer Symmetrie auf die Handlung einer beliebigen Gruppe verallgemeinert werden. Die Theorie der Gruppendarstellung impliziert, dass wenn der Charakter2 $2$$2$$a$von dieser Aktion auf eine Funktion ist nicht trivial, sie ist orthogonal zum trivialen Charakter, und das bedeutet, dass die Erwartung der Funktion Null sein muss. Die Orthogonalitätsbeziehungen umfassen das Hinzufügen (oder Integrieren) über die Gruppe, von wo aus die Größe der Gruppe ständig in Nennern erscheint: ihre Kardinalität, wenn sie endlich ist, oder ihr Volumen, wenn sie kompakt ist.

Die Schönheit dieser Verallgemeinerung zeigt sich in Anwendungen mit offensichtlicher Symmetrie , wie beispielsweise in mechanischen (oder quantenmechanischen) Bewegungsgleichungen symmetrischer Systeme, die durch ein Benzolmolekül (das eine Symmetriegruppe mit 12 Elementen aufweist) veranschaulicht werden. (Die QM-Anwendung ist hier am relevantesten, da sie die Erwartungen explizit berechnet.) Werte von physikalischem Interesse - die typischerweise mehrdimensionale Integrale von Tensoren beinhalten - können mit nicht mehr Arbeit als hier berechnet werden, indem einfach die mit dem verknüpften Zeichen bekannt sind Integranden. Zum Beispiel kann die „Farben“ von verschiedenen symmetrischen Molekülen - ihre Spektren bei verschiedenen Wellenlängen - bestimmt werden können ab initio mit diesem Ansatz.