Finden der Verteilung einer Statistik

Studieren für einen Test. Konnte diesen nicht beantworten.

Sei iid N ( 0 , 1 ) Zufallsvariablen. Definieren$X_{1,i},X_{2,i},X_{3,i}, i=1,\ldots,n$$\mathcal{N}(0,1)$

$W_i = (X_{1,i} + X_{2,i}X_{3,i})/\sqrt{1 + X_{3,i}^2}, i = 1, \ldots, n$ ,

und ,$\overline{W}_n = n^{-1}\sum_{i=1}^nW_i$

$S_n^2 = (n-1)^{-1}\sum_{i=1}^n(W_i - \overline{W}_n)^2, n \ge 2.$

Was ist die Verteilung von , S 2 n ?$\overline{W}_n$$S_n^2$

Wie bekomme ich eine Vorstellung von der besten Methode, wenn ich ein solches Problem starte?

Es ist ein Trick.

Bedingt auf wir, dass W i gleich X 1 , i + X 2 , i$X_{3,i} = x$$W_i$ Dies folgt aus der Tatsache, dass dies für festesxeine einfache lineare Transformation der beiden unabhängigenN(0,1)-verteilten VariablenX1,iundX2,i ist. Woher istWi≤X3,i=xV(Wi≤X3,i

$$\frac{X_{1,i} + X_{2,i}x}{\sqrt{1 + x^2}} \sim \mathcal{N}(0, 1).$$ $x$$\mathcal{N}(0,1)$$X_{1,i}$$X_{2,i}$$W_i \mid X_{3,i} = x$ hat eine Normalverteilung. Der bedingte Mittelwert ist 0 und die bedingte Varianz ist (durch die Unabhängigkeitsannahmen) $$V(W_i \mid X_{3,i} = x) = \frac{V(X_{1,i}) + V(X_{2,i})x^2}{1 + x^2} = \frac{1 + x^2}{1 + x^2} = 1.$$

Da die bedingte Verteilung von nicht von x abhängt, schließen wir, dass es auch seine Randverteilung ist, dh W i ∼ N ( 0 , 1 ) $W_i \mid X_{3,i} = x$$x$$W_i \sim \mathcal{N}(0,1).$

Der Rest ergibt sich aus Standardergebnissen zu Durchschnittswerten und Residuen für unabhängige normale Zufallsvariablen. Basus Theorem wird für nichts benötigt.