Dichte von Robotern, die zufällige Schritte in einem unendlichen zufälligen geometrischen Diagramm ausführen

Betrachten Sie einen unendlichen zufälligen geometrischen Graphen, in dem die Knotenpositionen einem Poisson-Punkt-Prozess mit der Dichte folgen und Kanten zwischen den Knoten platziert werden, die näher als d sind . Daher folgt die Länge der Kanten dem folgenden PDF:$\rho$$d$

Betrachten Sie im obigen Diagramm die Knoten innerhalb des Kreises mit dem Radius , der am Ursprung zentriert ist. Angenommen, zum Zeitpunkt t = 0 platzieren wir einen winzigen Roboter in jedem der genannten Knoten. Das heißt, die Dichte der Roboter im Flugzeug ist gegeben durch:$r$$t=0$

wobeilder Abstand vom Ursprung ist. Die folgende Abbildung zeigt ein Beispiel für die Erstplatzierung der Roboter.

Bei jedem Zeitschritt gehen die Roboter zufällig zu einem der Nachbarn.

Meine Frage lautet nun: Was ist die Dichtefunktion der Roboter bei ? Ist es möglich, die Dichtefunktion zu berechnen, wenn t → ∞ ?$t>0$$t \rightarrow \infty$

Sorry Leute, ich bin kein Mathematiker. Bitte lassen Sie mich wissen, wenn etwas unklar ist.

Hier ist ein Anfang.

$r = d/2$

$t$$n = 1 + 4t + 2t(t-1)$$t$$A_t$$n \times n$$n$$e_{i,t} \in \{0,1\}^n$$0$$1$$i$$A_t$$i$$t$$e_{1,t}' A_t^t e_{i,t}$$A^t = A \times A \cdots \times A$$A$$t$$\cal L_1$

$t$$r(t+1)$$0$$t$$q$$t$$(x,y)$$t$$f_t(x,y)$$f_t$$r$$X$

$U$$M$$MU + X$

$X$