Mit einem flachen Prior fallen die Schätzer ML (Frequentist - Maximum Likelihood) und MAP (Bayesian - Maximum A Posteriori) zusammen.
Im Allgemeinen spreche ich jedoch von Punktschätzern, die als Optimierer einer Verlustfunktion abgeleitet wurden. Dh
(Bayesian) x (
wobei der Erwartungsoperator ist, L ist der Funktionsverlust (bei Null minimiert), x ( y ) wird die Schätzfunktion , die Daten gegeben y , des Parameters x und Zufallsvariablen sind mit Großbuchstaben bezeichnet.
Kennt jemand Bedingungen für , das PDF von x und y , die auferlegte Linearität und / oder Unparteilichkeit, wo die Schätzer zusammenfallen werden?
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Wie in den Kommentaren angemerkt, ist ein Erfordernis der Unparteilichkeit wie Unparteilichkeit erforderlich, um das Frequentist-Problem aussagekräftig zu machen. Flache Prioren können ebenfalls eine Gemeinsamkeit sein.
Neben den allgemeinen Diskussionen einiger Antworten geht es in der Frage auch darum, konkrete Beispiele zu liefern . Ich denke, ein wichtiger Faktor ist die lineare Regression:
- die ist das blaue (Gauss-MarkovTheorem), dhes minimiert die frequentistischen MSE unter linear-unvoreingenommenem Schätzer.
- wenn ist und die Gaußsche vor flach ist , x = ( D ' D ) - 1 D ' die ist"posterior" meanminimiert der Bayesian mittlere Verlust für jede konvexe Verlustfunktion.
Hier, scheint D als Daten- / Entwurfsmatrix im frequentistischen / bayesianischen Jargon bekannt zu sein.
Antworten:
Die Frage ist interessant, aber etwas hoffnungslos, es sei denn, der Begriff des frequentistischen Schätzers wird präzisiert. Es ist definitiv nicht der Satz in der Frage x ( , da die Antwort auf die Minimierung ist x ( y ) = x für alle y
Wie in den Kommentaren hervorgehoben, Unparteilichkeit kann eine solche Einschränkung sein, in welchem Fall Bayes-Schätzer ausgeschlossen sind. Aber dieser häufig auftretende Begriff kollidiert mit anderen häufig auftretenden Begriffen wie
Plus-Unparteilichkeit gilt nur für eine eingeschränkte Klasse von Schätzproblemen. Damit meine ich, dass die Klasse der unverzerrten Schätzer eines bestimmten Parameters oder einer Transformation h ( θ ) die meiste Zeit leer ist.θ h(θ)
Apropos Zulässigkeit, eine weitere häufig anzutreffende Vorstellung, es gibt Einstellungen, für die nur Bayes-Schätzer und umgekehrt zulässig sind. Diese Art von Einstellungen bezieht sich auf die vollständigen Klassensätze, die Abraham Wald in den 1950er Jahren aufgestellt hat. (Gleiches gilt für die besten invarianten Schätzer, bei denen es sich um Bayes nach dem entsprechenden rechten Haar-Maß handelt.)
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Im Allgemeinen stimmen häufig auftretende und bayesianische Schätzer nicht überein, es sei denn, Sie verwenden zuvor eine degenerierte Ebene. Der Hauptgrund ist folgender: Frequentistische Schätzer bemühen sich oft um Unparteilichkeit. Zum Beispiel versuchen Frequentisten oft, den Schätzer für die unverzerrte Mindestvarianz zu finden ( http://en.wikipedia.org/wiki/Minimum-variance_unbiased_estimator ). In der Zwischenzeit sind alle nicht entarteten Bayes-Schätzer voreingenommen (im häufigeren Sinne von Voreingenommenheit). Siehe zum Beispiel http://www.stat.washington.edu/~hoff/courses/581/LectureNotes/bayes.pdf , Theorem 5.
Zusammenfassend lässt sich sagen: Die meisten populären Frequentist-Schätzer bemühen sich um Unparteilichkeit, während alle Bayes-Schätzer voreingenommen sind. Daher stimmen Bayes und häufig auftretende Schätzer selten überein.
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Möglicherweise gibt es keine Antwort auf diese Frage.
Eine Alternative könnte darin bestehen, nach Methoden zu fragen, mit denen die beiden Schätzungen für jedes Problem effizient ermittelt werden können. Die Bayes'schen Methoden kommen diesem Ideal ziemlich nahe. Obwohl Minimax-Methoden verwendet werden könnten, um die Frequentist-Point-Schätzung zu bestimmen, bleibt die Anwendung der Minimax-Methode im Allgemeinen schwierig und wird in der Praxis tendenziell nicht angewendet.
Eine andere Alternative wäre die Umformulierung der Frage nach den Bedingungen, unter denen Bayes'sche und frequentistische Schätzer „konsistente“ Ergebnisse liefern, und der Versuch, Methoden zur effizienten Berechnung dieser Schätzer zu ermitteln. Unter "konsistent" wird verstanden, dass Bayes'sche und frequentistische Schätzer aus einer gemeinsamen Theorie abgeleitet sind und dass für beide Schätzer dasselbe Optimalitätskriterium verwendet wird. Dies unterscheidet sich stark von dem Versuch, sich der Bayes'schen und der frequentistischen Statistik zu widersetzen, und könnte die oben genannte Frage überflüssig machen. Ein möglicher Ansatz besteht darin, sowohl für den Frequentist-Fall als auch für den Bayes'schen Fall Entscheidungsmengen anzustreben, die den Verlust für eine gegebene Größe minimieren, dh wie von vorgeschlagen
Schafer, Chad M und Philip B Stark. "Erstellen von Vertrauensbereichen mit optimaler erwarteter Größe." Journal of the American Statistical Association 104.487 (2009): 1080 & ndash; 1089.
Es stellt sich heraus, dass dies sowohl für den häufig auftretenden als auch für den bayesianischen Fall möglich ist, indem Beobachtungen und Parameter mit großer punktueller gegenseitiger Information bevorzugt einbezogen werden. Die Entscheidungssätze sind nicht identisch, da die gestellte Frage unterschiedlich ist:
Die Sets überlappen sich jedoch weitgehend und werden in einigen Situationen identisch, wenn flache Priors verwendet werden. Die Idee wird zusammen mit einer effizienten Implementierung in detaillierter besprochen
Bartels, Christian (2015): Generisches und konsistentes Vertrauen und glaubwürdige Regionen. figshare. https://doi.org/10.6084/m9.figshare.1528163
Bei informativen Prioren weichen die Entscheidungsmengen stärker voneinander ab (wie allgemein bekannt und in der obigen Frage und den Antworten dargelegt). Im konsequenten Rahmen erhält man jedoch frequentistische Tests, die die gewünschte frequentistische Abdeckung gewährleisten, aber Vorkenntnisse berücksichtigen.
Bartels, Christian (2017): Vorkenntnisse in frequentistischen Tests nutzen. figshare. https://doi.org/10.6084/m9.figshare.4819597
Den vorgeschlagenen Methoden fehlt es immer noch an einer effizienten Umsetzung der Marginaisierung.
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