Was bedeutet hochgestellt in

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Im Zusammenhang mit der wahrscheinlichkeitsbasierten Inferenz habe ich einige Notationen bezüglich der interessierenden Parameter gesehen, die ich etwas verwirrend fand.

Zum Beispiel Notation wie pθ(x) und Eθ[S(θ)] .

Welche Bedeutung hat der Parameter ( θ ) in der obigen Indexnotation? Mit anderen Worten, wie soll es gelesen werden?

Meine erste Annahme war, dass es einfach "mit Parameter θ " bedeutete; Zum Beispiel würde für pθ(x) lauten:

"Die Wahrscheinlichkeitsdichte von x mit dem Parameter θ ."

Dies wahrscheinlich ist jedoch nicht korrekt , weil und im allgemeinen L ( θ ) ist nicht eine Verteilung (dh es integriert nicht zur Einheit); daher kann es keine Dichte sein, oder?pθ(x)=L(θ)L(θ)

Außerdem bin ich im Fall von nicht sicher, was sich relativ zu E [ ( S ( & thgr; ) ] ändert (dh wenn der Index & thgr; weggelassen wird).Eθ[S(θ)]E.[(S.(θ)]]θ

Oben bezeichnen und L ( θ ) die Bewertungsfunktion bzw. die Wahrscheinlichkeitsfunktion.S.(θ)L.(θ)

Hugo
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ist eine Wahrscheinlichkeit (oder Dichte) für jedes & thgr;, was nicht impliziert, dass die Wahrscheinlichkeit eine Dichtefunktion als Funktion von & thgr; ist . pθθθ
Stéphane Laurent
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Danke für deine Antwort!
Also ist ?pθ(x) ist äquivalent zu p(x;;θ)
Daraus kann ich davon ausgehen , dass: pθ(x)=L.(θ) aber pθ(x)dx=1L.(θ)dθ
Und auch, dass sich auf die Erwartung von x für jedes & thgr ; bezieht, so dass: E & thgr; ( f ( x ) ) = & Dgr; f ( x ) p & thgr; ( x ) d xE.θ(f(x))xθE.θ(f(x))=f(x)pθ(x)dx
Hugo
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Normalerweise repräsentiert die Notation eine Erwartung in Bezug auf die Zufallsvariable X ; Wenn Sie sich in einer Situation befinden, in der es sinnvoll ist, θ als Zufallsvariable zu betrachten (z. B. einen Bayes'schen Kontext), ist dies die Absicht. Wenn Sie sich nicht in einer Situation befinden, in der θ als Zufallsvariable angesehen werden könnte, würde @ Hugos Kommentar die Bedeutung bedeuten, die ich als nächstes betrachten würde. E.X.()X.θθ
Glen_b -Rate State Monica
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@ Hugo Ja du verstehst. Streng genommen sollten wir immer die Erwartung wobei P die zugrunde liegende Wahrscheinlichkeit ist, aber dies ist nutzlos, wenn es nur ein P gibt . Hier E θ ist eine Abkürzung für E p θ . Die von Geln_b erwähnte Notation E X ist für andere Kontexte geeignet, aber normalerweise mag ich diese Notation nicht. E.P.P.P.E.θE.pθE.X
Stéphane Laurent

Antworten:

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Dies wird meistens in Kommentaren beantwortet, die ich hier zusammenfassen werde.

pθ(x) bedeutet dasselbe wiep(x;θ) , es ist eine Abkürzung. Dies ist eine Dichte in Bezug aufx , nicht in Bezug aufθ . Also, während notwendigerweisep(x;;θ)dx=1 folgt nicht, dassp(x;;θ)dθ=1 , es könnte alles sein, einschließlich .

So, E.θ[S.(θ)]] ist die Erwartung von S.(θ) in Bezug auf die Verteilung pθ(x) . Der Index θ dient der Klarheit, nicht weil er notwendig ist, daher hat E.[(S.(θ)]] die gleiche Bedeutung. Die Verteilung, für die wir die Erwartung berechnen, sollte aus dem Kontext klar sein oder irgendwie angegeben sein (wie durch ein Index).

kjetil b halvorsen
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