Verhältnis von Summe von Normal zu Summe von Würfeln von Normal

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Bitte helfen Sie mir, die einschränkende Verteilung (als ) der folgenden zu finden: wo uiv .n

Un=X1+X2++XnX13+X23+Xn3,
XiN(0,1)
Arunangshu Biswas
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Haben Sie versucht, Transformationen von Zufallsvariablen zu betrachten? Man könnte zum Beispiel charakteristische Funktionen, Laplace-Stieltjes-Transformationen usw. ausprobieren.
Stijn
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Hinweis: Zähler und Nenner sind asymptotisch bivariat normal. Sie können ihre Momente direkt berechnen: Ihre Mittelwerte sind offensichtlich Null, die Varianz des Zählers ist , die Varianz des Nenners ist 15 n und die Kovarianz ist 3 n . (Somit ist die Korrelation 3 / n15n3n.) Die Grenzverteilung zu finden, ausdrücklich jede Mittelwert Null bivariate Normal(U,V)in der Form(A,βA+B)fürunabhängige Mittelwert Null NormalenAundBundKonstanteβ, dann beachtendass das VerhältnisV/U=β+B/Aist eine verschobene skalierte Cauchy-Verteilung. 3/150.775(U,V)(A,βA+B)ABβV/U=β+B/A
Whuber

Antworten:

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Wenn die Formulierung wobeiXi~N(0,1)undYi~N(0,1)unabhängig sind, wäre es nur eine klassisches Lehrbuch Übung sein. Sie verwenden die Tatsache, dassFn d F,

Un=X1+X2++XnY13+Y23+Yn3
XiN(0,1)YiN(0,1) und wir können schließen, dassUzur skalierten Cauchy-Verteilung asymptotisch ist.
FndF,GndGFnGndFG
U

Aber in Ihrer Formulierung können wir den Satz aufgrund der Abhängigkeit nicht anwenden. Mein Monte-Carlo legt nahe, dass die Grenzverteilung von nicht entartet ist und kein erstes Moment hat und nicht symmetrisch ist. Mich würde interessieren, ob es eine explizite Lösung für dieses Problem gibt. Ich bin der Meinung, dass die Lösung nur in Bezug auf den Wiener Prozess geschrieben werden kann.Un

[EDIT] Beachten Sie, dass Whubers Hinweis folgt

wobei(Z1,Z2)N(0,(13315)) ist,indem festgestellt wird, dassE[X41]=3undE[X61]=15. (Momente normaler Norm,(n-

(1nXi,1nXi3)d(Z1,Z2)
(Z1,Z2)N(0,(13315))
E[X14]=3E[X16]=15für gerade n ) Dann haben wir durch kontinuierliches Mapping-Theorem U n d Z 1(n1)!!n Festzustellen, dass wirZ1=1schreiben können
UndZ1Z2
mitZ3N(0,1)und unabhängig vonZ2schließen wir, dassUnd1Z1=15Z2+25Z3Z3N(0,1)Z2woΓCauchy
Und15+25Z3Z215+275Γ
ΓCauchy
Julius
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