Interpretation des Bayes'schen 95% -Vorhersageintervalls

Angenommen, das folgende bivariate Regressionsmodell: wobei iid für .u i N ( 0 , σ 2 = 9 ) i = 1 , … ,

$$y_i = \beta x_i + u_i,$$ $u_i$$N(0, \sigma^2 = 9)$$i = 1,\ldots, n$

Angenommen , ein noninformative Stand , dann kann gezeigt werden , dass die posterior pdf für ist wobeiβ p ( β | y ) = ( 18 π ) - $p(\beta) \propto \text{constant}$$\beta$ β =(Σ N i = 1 yixi)/(Σ n i = 1 x 2 i )

$$p(\beta|\mathbf{y}) = (18\pi)^{-\frac{1}{2}}\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)^{\frac{1}{2}} \exp\left[-\frac{1}{18}\sum_{i=1}^n x_i^2 (\beta - \hat{\beta})^2\right],$$ $\hat{\beta} = (\sum_{i=1}^n y_ix_i)/(\sum_{i=1}^n x_i^2).$

Betrachten Sie nun den Wert von mit einem gegebenen zukünftigen Wert von , : wobei ist iid , dann können wir zeigen, dass ist eine normale Dichte mit Erwartung und Varianz Somit ist die posterior Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für , abhängig , ist x x n + 1 y n + 1 = β x n + 1 + u n + 1 , u n + 1 N ( 0 , σ 2 = 9 ) p ( y n + 1 | x n + 1 , y ) = ∫ β p ( y n + 1 | x $y$$x$$x_{n+1}$

$$y_{n+1} = \beta x_{n+1} + u_{n+1},$$ $u_{n+1}$$N(0, \sigma^2 = 9)$ $$p(y_{n+1}|x_{n+1},\mathbf{y}) = \int_{\beta} p(y_{n+1}|x_{n+1}, \beta, \mathbf{y}) p(\beta|\mathbf{y})d\beta$$ $$E[y_{n+1}|x_{n+1},\mathbf{y}] = \hat{\beta}x_{n+1},\quad {\rm var}[y_{n+1}|x_{n+1},\mathbf{y}] = \frac{9[x_{n+1}^2 + \sum_{i=1}^n x_i^2]}{\sum_{i=1}^n x_i^2}.$$ $y_{n+1}$$x_{n+1}$ $$\begin{align} p(y_{n+1}|x_{n+1},\mathbf{y}) = &\left(\frac{18\pi\left[x_{n+1}^2 + \displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i^2}\right]}{ \displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i^2}}\right)^{-\frac{1}{2}} \\ & \times \exp\left\{-\frac{\displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i^2}}{18\left(x_{n+1}^2 + \displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i^2}\right)}\left(y_{n+1}-\hat{\beta}x_{n+1}\right)^2\right\} \end{align}$$

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Die Frage lautet nun: Geben Sie ein 95% -Vorhersageintervall für $y_{n+1}$ und interpretieren Sie es sorgfältig. In welchen Aspekten des Datengenerierungsprozesses berücksichtigt das Intervall unsere Unsicherheit nicht?

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Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich die Frage beantworten soll, aber hier ist mein Versuch:

Im Wesentlichen müssen wir also und so finden, dass$a$$b$$P(a < y_{n+1} < b) = \int_{a}^b p(y_{n+1}|x_{n+1}, \mathbf{y}) dy_{n+1} = 95\%$

Jetzt wissen wir, dass wobei und , daher: $y_{n+1}|x_{n+1}, \mathbf{y} \sim N(m, v^2)$$m = E[y_{n+1}|x_{n+1},\mathbf{y}]$$v^2 = var[y_{n+1}|x_{n+1},\mathbf{y}]$

$$\frac{y_{n+1}-m}{v} \sim N(0,1)$$ $$P(-1.96 < \frac{y_{n+1}-m}{v} < 1.96) = 95\%$$ $$P(-1.96v+m < y_{n+1} < 1.96v+m) = 95\%$$

Da wir nun auf konditionieren und den Ausdruck für und , sehen wir, dass sowohl als auch bekannte Werte sind. Wir können also und . Das heißt, wir können viele andere Möglichkeiten von und auswählen, die eine Wahrscheinlichkeit von . Aber wie hängt dies mit der Beantwortung des Teils der Frage zusammen, in dem gefragt wird, welche Aspekte des Datenerzeugungsprozesses dieses Intervall nicht berücksichtigt? v m v m a = - 1,96 v + m b = 1,96 v + m a b 95 $x_{n+1}$$v$$m$$v$$m$$a = -1.96v+m$$b = 1.96v+m$$a$$b$$95\%$

Das Intervall berücksichtigt alle Unsicherheiten des Problems. In Ihrer Beschreibung des Problems sind die einzigen Dinge, die Sie nicht wissen, und . Das von Ihnen abgeleitete Vorhersageintervall berücksichtigt die Unsicherheit in beiden Fällen. Es besteht also keine Unsicherheit mehr für das Intervall, "nicht zu berücksichtigen".$\beta$$u$