Exponentiell gewichtete Bewegungsschiefe / Kurtosis

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Es gibt bekannte Online-Formeln zur Berechnung von exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitten und Standardabweichungen eines Prozesses . Für den Mittelwert,(xn)n=0,1,2,

μn=(1α)μn1+αxn

und für die Varianz

σn2=(1α)σn12+α(xnμn1)(xnμn)

woraus Sie die Standardabweichung berechnen können.

Gibt es ähnliche Formeln für die Online-Berechnung exponentiell gewichteter dritter und vierter zentraler Momente? Meine Intuition ist, dass sie die Form annehmen sollten

M3,n=(1α)M3,n1+αf(xn,μn,μn1,Sn,Sn1)

und

M4,n=(1-α)M4,n-1+αf(xn,μn,μn-1,Sn,Sn-1,M3,n,M3,n-1)

Sie die Schiefe und die Kurtosis berechnen. Formausdruck für die Funktionen und . k n = M 4 , n / σ 4 n f gγn=M3,n/σn3kn=M4,n/σn4fG


Bearbeiten: Einige weitere Informationen. Die Aktualisierungsformel für die Bewegungsvarianz ist ein Sonderfall der Formel für die exponentiell gewichtete Bewegungskovarianz, die über berechnet werden kann

Cn(x,y)=(1-α)Cn-1(x,y)+α(xn-x¯n)(yn-y¯n-1)

Dabei sind und \ bar {y} _n die exponentiellen Bewegungsmittel von x und y . Die Asymmetrie zwischen x und y ist illusorisch und verschwindet, wenn Sie feststellen, dass y- \ bar {y} _n = (1- \ alpha) (y- \ bar {y} _ {n-1}) . ˉ y nxyx¯ny¯nxyy y - ˉ y n = ( 1 - α ) ( y - ˉ y n - 1 )xyy-y¯n=(1-α)(y-y¯n-1)

Formeln wie diese können berechnet werden, indem das zentrale Moment als eine Erwartung , wobei die Gewichte in der Erwartung als exponentiell verstanden werden und die Tatsache verwendet wird, dass wir für jede Funktion habenf ( x )En()f(x)

En(f(x))=αf(xn)+(1-α)En-1(f(x))

Es ist einfach, die Aktualisierungsformeln für den Mittelwert und die Varianz unter Verwendung dieser Beziehung abzuleiten, aber es erweist sich für den dritten und vierten zentralen Moment als schwieriger.

Chris Taylor
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Antworten:

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Die Formeln sind einfach, aber nicht so einfach wie in der Frage angedeutet.

Sei die vorherige EWMA und sei , was unabhängig von . Per Definition ist der neue gewichtete Durchschnitt für einen konstanten Wert . Setzen Sie zur Vereinfachung der Darstellung . Let bezeichnen die CDF einer Zufallsvariablen und bezeichnen seine Moment erzeugende Funktion , so dassX = x n Y Z = α X + ( 1. - α ) Y α & bgr; = 1 - α F φY.X=xnY.Z=αX+(1-α)Y.αβ=1αFϕ

ϕX(t)=EF[exp(tX)]=Rexp(tx)dFX(x).

Bei Kendall und Stuart bezeichne nichtzentrale Moment der Ordnung für die Zufallsvariable ; das heißt, . Die Schiefe und die Kurtosis sind ausgedrückt als für ; Beispielsweise ist die Schiefe definiert als wobeikZμμk(Z)kZμμk(Z)=E[Zk]k=1,2,3,4μ3/μ 3 / 2 2μkk=1,2,3,4μ3/μ23/2

μ3=μ3-3μ2μ1+2μ13 und μ2=μ2-μ12

sind der dritte und der zweite zentrale Moment.

Standardmäßig elementare Ergebnisse,

1+μ1(Z)t+12!μ2(Z)t2+13!μ3(Z)t3+14!μ4(Z)t4+O(t5)=ϕZ(t)=ϕαX(t)ϕβY(t)=ϕX(αt)ϕY(βt)=(1+μ1(X)αt+12!μ2(X)α2t2+)(1+μ1(Y)βt+12!μ2(Y)β2t2+).

Um die gewünschten Momente zu erhalten, multiplizieren Sie die letztere Potenzreihe mit der vierten Ordnung in und setzen Sie das Ergebnis mit den Termen in .ϕ Z ( t )tϕZ(t)

whuber
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Ich habe ein Problem mit der Formelvisualisierung, möglicherweise immer dann, wenn ein 'verwendet wird, sowohl mit IE als auch mit Firefox. Würden Sie dies bitte überprüfen? Vielen Dank!
Quarz
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@Quartz Danke für die Heads-up. Dies wurde früher ordnungsgemäß angezeigt, sodass sich anscheinend einige Änderungen bei der Verarbeitung des Markups ergeben haben. Ich habe eine Problemumgehung gefunden, indem ich alle einfachen Anführungszeichen in geschweifte Klammern eingeschlossen habe. (Diese Änderung hat wahrscheinlich ein paar Dutzend Posts auf dieser Site zerstört.)TEX
whuber
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Ich denke, dass die folgende Aktualisierungsformel für den dritten Moment funktioniert, obwohl ich froh wäre, wenn jemand sie überprüfen würde:

M3,n=(1α)M3,n1+α[xn(xnμn)(xn2μn)xnμn1(μn12μn) μn1(μnμn1)23(xnμn)σn12]

Aktualisierungsformel für die Kurtosis noch offen ...

Chris Taylor
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Warum das ... in der obigen Formel?
Chris
Linienfortsetzung.
Chris Taylor
Hat sich Ihre Gleichung als richtig erwiesen? Ich habe eine ähnliche Frage in R. stats.stackexchange.com/q/234460/70282
Chris
Haben Sie im dritten Moment die Division durch N berücksichtigt? Die Schiefe ist das Verhältnis des 3. Moments und der Standardabweichung ^ 3 wie folgt: Schiefe = m3 / Quadratmeter (Varianz) ^ 3 Das dritte Moment ist definiert als: m3 = Summe ((x-Mittelwert) ^ 3) / n
Chris