Gamma vs. Lognormalverteilungen

Ich habe eine experimentell beobachtete Verteilung, die einer Gamma- oder Lognormalverteilung sehr ähnlich sieht. Ich habe gelesen, dass die Lognormalverteilung die maximale Entropiewahrscheinlichkeitsverteilung für eine Zufallsvariable für die der Mittelwert und die Varianz von festgelegt sind. Hat die Gamma-Verteilung ähnliche Eigenschaften? $X$ $\ln(X)$

pdf gamma-distribution lognormal OSE
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Warum sollte eine solche Eigenschaft für die Entscheidung, welches Modell geeignet ist, von Wert sein?

Glen_b

@ Glen_b Ich bin immer noch ein Anfänger, wenn es um Statistik geht, daher sind meine Kenntnisse ziemlich grundlegend. Betrachtet man die Diagramme der Gamma- und Lognormalverteilungen, sehen sie qualitativ sehr ähnlich aus. Ich suche nach quantitativen Unterschieden zwischen den beiden. Was sind beispielsweise einige Beispiele für physikalische Anwendungen, bei denen Gamma- oder logarithmische Normalverteilungen auftreten?

OSE

In Wirklichkeit tritt wahrscheinlich keines von beiden tatsächlich auf; Es sind außerordentlich einfache Modelle, die manchmal nützliche (wenn auch grobe) Annäherungen an die Realität darstellen. Ich werde eine Antwort veröffentlichen, in der einige qualitative Unterschiede erörtert werden.

Glen_b -Reinstate Monica

@glen_b: Der Grund ist, dass, wenn Sie nur diese Statistiken messen, die minimale angenommene Verteilung eindeutig die exponentielle Familienverteilung mit diesen ausreichenden Statistiken ist. Während jede Verteilung ein schlechtes Modell der Realität sein kann, ist dies eine hervorragende Möglichkeit, ein Modell auszuwählen, wenn es nicht frei ist, welche Messungen vorgenommen werden.

Neil G

@ Glen_b Ich denke, die lognormale Verteilung sollte in einigen physischen Situationen aufgrund der CLT auftreten.

Stéphane Laurent

Antworten:

Bezüglich der qualitativen Unterschiede sind lognormal und gamma, wie Sie sagen, ziemlich ähnlich.

In der Praxis werden sie häufig verwendet, um dieselben Phänomene zu modellieren (einige verwenden ein Gamma, andere ein Lognormal). Sie sind beide zum Beispiel Modelle mit konstantem Variationskoeffizienten (der CV für die logarithmische Norm ist $\sqrt{e^{\sigma^2} -1}$ $1/\sqrt \alpha$

$\mu$ $\beta$ $\mu=\alpha\beta$ $\alpha$ $\mu$ $\mu$ $\alpha$ $\sigma$

Vielleicht finden Sie es lehrreich, die Dichte ihrer Protokolle zu betrachten , was häufig einen sehr deutlichen Unterschied zeigt.

Das Protokoll einer lognormalen Zufallsvariablen ist ... normal. Es ist symmetrisch.

Das Protokoll einer Gamma-Zufallsvariablen ist schief. Abhängig vom Wert des Formparameters kann er ziemlich schief oder nahezu symmetrisch sein.

Hier ist ein Beispiel, bei dem sowohl lognormal als auch gamma den Mittelwert 1 und die Varianz 1/4 haben. Das obere Diagramm zeigt die Dichte (Gamma in Grün, Lognormal in Blau) und das untere Diagramm zeigt die Dichte der Logs:

gamma und lognormal, Dichte und Dichte von log

(Das Aufzeichnen des Protokolls über die Dichte der Protokolle ist ebenfalls nützlich. Das heißt, es wird eine Protokollskala auf der obigen y-Achse erstellt.)

$\text{CV}^3+3\text{CV}$ $2\text{CV}$

Glen_b - Setzen Sie Monica wieder ein
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+1. Wissen Sie, ob es eine geschlossene Formel für die Schiefe des Gamma-Logs gibt? Für lognormal ist die Schiefe von log eindeutig Null, und ich frage mich, ob es einen Ausdruck für das Gamma gibt. Wikipedia gibt Formeln für den Mittelwert und die Varianz von log (Gamma) an, nicht jedoch für die Schiefe.

Amöbe sagt Reinstate Monica

\int_{0}^{\infty} x^{ν - 1} e^{- μ x} (\ln x)^{p} d x

$\int_0^\infty x^{\nu-1}e^{-\mu x}(\ln x)^p dx$

p = 2, 3, 4

$p=2,3,4$

p = 1

$p=1$

Γ, ψ

$\Gamma, \psi$

ζ

$\zeta$

p

$p$ als Ableitung einer Gammafunktion ist es also vermutlich machbar, höher zu gehen. Schiefe ist also durchaus machbar, aber nicht besonders "ordentlich". Wenn Sie es weiterverfolgen möchten, könnte ich Ihnen die Integrale geben.

Glen_b

Es ist jedoch nicht erforderlich, die Schiefe zu bewerten, um das Vorzeichen zu erkennen. Das Untersuchen des Protokolls auf die Dichte der Protokolle sollte ausreichen, um festzustellen, dass eine Seite die andere klar dominiert.

Glen_b

Vielen Dank, Glen. Ich habe mich entschieden, es als neue Frage zu posten : stats.stackexchange.com/questions/312803 . Ich habe einige Zeit damit verbracht, eine fertige Antwort zu suchen, konnte aber keine finden. Daher ist es möglicherweise für die Zukunft hilfreich, sie an einer Stelle aufzuschreiben, an der sie leicht zu finden ist. Es passt vielleicht etwas besser zu Math.SE, aber ich würde es vorziehen, hier zu sein, um ehrlich zu sein.

Amöbe sagt Reinstate Monica

$E(X)$ $E(\log X)$

Um Ihre Frage zu physikalischen Prozessen zu beantworten, die diese Verteilungen erzeugen: Die logarithmische Normalverteilung entsteht, wenn der Logarithmus von X normalverteilt ist, zum Beispiel, wenn X das Produkt sehr vieler kleiner Faktoren ist. Wenn X gammaverteilt ist, ist es die Summe vieler exponentiell verteilter Variablen. Zum Beispiel die Wartezeit für viele Ereignisse eines Poisson-Prozesses.

Neil G
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Es müssen nicht "viele" Exponentialvariablen Gamma sein.

Stéphane Laurent