Mein stat prof sagte im Grunde, wenn eine der folgenden drei gegeben ist, können Sie die anderen zwei finden:
- Verteilungsfunktion
- Moment erzeugende Funktion
- Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Mein Ökonometrieprofessor sagte jedoch, CDFs seien grundlegender als PDFs, da es Beispiele gibt, in denen Sie eine CDF haben können, die PDF jedoch nicht definiert ist.
Sind CDFs grundlegender als PDFs? Woher weiß ich, ob ein PDF oder ein MGF von einem CDF abgeleitet werden kann?
probability
pdf
cdf
mgf
Stan Shunpike
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Antworten:
Jede Wahrscheinlichkeitsverteilung auf (einer Teilmenge von) hat eine kumulative Verteilungsfunktion und definiert die Verteilung eindeutig. In diesem Sinne ist die CDF in der Tat so grundlegend wie die Distribution selbst.Rn
Eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion existiert jedoch nur für (absolut) kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen . Das einfachste Beispiel für eine Verteilung ohne PDF ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung , z. B. die Verteilung einer Zufallsvariablen, die nur ganzzahlige Werte annimmt.
Natürlich können solche diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen stattdessen durch eine Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion charakterisiert werden , aber es gibt auch Verteilungen, die weder PDF noch eine PMF haben, wie etwa eine beliebige Mischung aus einer kontinuierlichen und einer diskreten Verteilung:
(Diagramm, das schamlos aus Glen_bs Antwort auf eine verwandte Frage gestohlen wurde .)
Es gibt sogar singuläre Wahrscheinlichkeitsverteilungen , wie die Cantor-Verteilung , die nicht einmal durch eine Kombination von PDF und PMF beschrieben werden können. Solche Distributionen haben jedoch immer noch eine gut definierte CDF. Hier ist zum Beispiel die CDF der Cantor-Distribution, manchmal auch "Devil's staircase" genannt:
( Bild aus Wikimedia Commons der Benutzer Theon und Amirki , verwendet unter CC-By-SA 3.0 Lizenz.)
Die als Cantor-Funktion bekannte CDF ist kontinuierlich, aber nicht absolut kontinuierlich. Tatsächlich ist es überall konstant, außer bei einem Cantor-Satz von null Lebesgue-Maßen, der aber immer noch unendlich viele Punkte enthält. Somit konzentriert sich die gesamte Wahrscheinlichkeitsmasse der Cantor-Verteilung auf diese verschwindend kleine Teilmenge der reellen Zahlengeraden, aber jeder Punkt in der Menge hat immer noch eine Wahrscheinlichkeit von Null.
Es gibt auch Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die keine momenterzeugende Funktion haben . Das wohl bekannteste Beispiel ist die Cauchy-Verteilung , eine Fettschwanzverteilung die keine genau definierten Momente in der Größenordnung 1 oder höher aufweist (also insbesondere keinen genau definierten Mittelwert oder Varianz!).
Alle Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf haben jedoch eine (möglicherweise komplexwertige) charakteristische Funktion , deren Definition sich von derjenigen des MGF nur durch eine Multiplikation mit der imaginären Einheit unterscheidet . Somit kann die charakteristische Funktion als so grundlegend angesehen werden wie die CDF.Rn
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Ich glaube, Ihr Ökonometrieprofessor hat etwas in die folgende Richtung gedacht.
Nach der Definition eines PDF müssen wir haben
wir würden brauchen
Sie können den Geist einer PDF-Datei wiederherstellen, müssen jedoch komplexere mathematische Objekte verwenden, entweder eine Kennzahl oder eine Verteilung .
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Ilmari gibt aus theoretischer Sicht eine gute Antwort. Man kann sich aber auch fragen, zu welchen Zwecken die Dichte (pdf) und die Verteilungsfunktion (pdf) für praktische Berechnungen dienen. Dies könnte klarstellen, für welche Situationen eine direkter nützlich ist als die andere.
Die Dichte ist jedoch für die Statistik von wesentlicher Bedeutung, da die Wahrscheinlichkeit anhand der Dichte definiert wird. Wenn wir also die Maximum-Likelihood-Schätzung berechnen möchten, benötigen wir direkt die Dichte.
Wenn wir uns dem Vergleich einer empirischen und einer theoretischen Verteilung zuwenden, können beide nützlich sein, aber Methoden wie pp- und qq-Diagramme, die auf der Verteilungsfunktion basieren, werden oft bevorzugt.
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