Erwartung des Quotienten der Summen von IID-Zufallsvariablen (Arbeitsblatt der Universität Cambridge)

Ich bereite mich auf ein Interview vor, das gute Kenntnisse der Grundwahrscheinlichkeit erfordert (zumindest, um das Interview selbst zu überstehen). Ich arbeite das Blatt unten aus meiner Studienzeit als Überarbeitung durch. Es war größtenteils ziemlich einfach, aber ich bin bei Frage 12 völlig ratlos.

http://www.trin.cam.ac.uk/dpk10/IA/exsheet2.pdf

Jede Hilfe wäre dankbar.

Bearbeiten: die Frage ist:

Angenommen, sind unabhängige, identisch verteilte positive Zufallsvariablen mit und . Sei . Zeigen Sie, dass $X_1, X_2, ...$ $\mathbb{E}(X_1) = \mu < \infty$ $\mathbb{E}(X_1^{-1}) < \infty$ $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = m/n$ wenn und wenn . $m<=n$ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = 1 + (m-n)\mu\mathbb{E}(S_n^{-1}))$ $m>=n$

Tatsächlich habe ich beim Schreiben den zweiten Teil gelöst.

Für , $m>=n$ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = \mathbb{E}(X_1+ . . . +X_m)/\mathbb{E}(X_1+ . . . +X_n)$

$=\mathbb{E}(1 + (X_{n+1} + ... + X_m)/(X_1 + ... + X_n))$

und der Zähler und Nenner des obigen Verhältnisses sind eindeutig unabhängig, also:

$= 1 + \mathbb{E}(X_{n+1} + ... + X_m)\mathbb{E}(S_n^{-1})$

und wir erhalten das gewünschte Ergebnis.

Ich stecke immer noch im ersten Teil fest.

probability self-study random-variable Spy_Lord
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whuber

Wie gewünscht aktualisiert.

Spy_Lord

Gut gemacht! Hier ist ein Vorschlag für den ersten Teil: Wenn Sie

identische Kopien von

addieren , sieht es so aus, als hätte die Summe eine Verteilung, deren Erwartung nur unter Verwendung der iid-Annahme leicht zu berechnen ist.

n

$n$

S_{m} / S_{n}

$S_m/S_n$

whuber

Ich freue mich über Ihr Angebot, es aufzuschreiben. Ich denke, das wäre eine nützliche Ergänzung zu unserer Seite.

whuber

E ((n X_{1}) / (X_{1} + . . . + X_{n}))

$\mathbb{E}((nX_1)/(X_1+. . . + X_n))$

E ((X_{1} + . . . + X_{n}) / (X_{1} + . . . + X_{n})) = 1

$\mathbb{E}((X_1 + ... + X_n)/(X_1+. . . + X_n)) = 1$

Antworten:

$n$ $S_m/S_n$

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = \mathbb{E}\left(\frac{X_1 + ... + X_m}{X_1 + ... + X_n}\right) = \mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right) + ... + \mathbb{E}\left(\frac{X_m}{X_1 + .... + X_n}\right)$

$X_i$ $m \le n$ $X_i$ $X_j$ $i, j \le n$ $S_n$ $X_i$ $X_j$ $\mathbb{E}(X_i/S_n) = \mathbb{E}(X_j/S_n)$ $\mathbb{E}(X_i/S_n)=k$ $1 \le i \le n$ $m$ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = mk$

$k=1/n$

$k=\mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right)=\mathbb{E}\left(\frac{X_2}{X_1 + .... + X_n}\right)=...=\mathbb{E}\left(\frac{X_n}{X_1 + .... + X_n}\right)$

Erst zu diesem Zeitpunkt wurde mir klar, dass ich diese addieren sollte, um sie zu erhalten

$nk = \mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right) + \mathbb{E}\left(\frac{X_2}{X_1 + .... + X_n}\right) + ... + \mathbb{E}\left(\frac{X_n}{X_1 + .... + X_n}\right)$ $\implies nk = \mathbb{E}\left(\frac{X_1 + ... + X_n}{X_1 + .... + X_n}\right) = \mathbb{E}(1) = 1$

$m>n$ $X_i$ $X_i$ $X_j$ $S_n$ $S_n$ $i \le n$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i}{X_1 + .... + X_n}\right)=k$ $i>n$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i}{X_1 + .... + X_n}\right)=r$ $n$ $m-n$

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = nk + (m-n)r = 1 + (m-n)r$

$r$ $S_n^{-1}$ $X_i$ $i>n$ $r=\mathbb{E}(X_i S_n^{-1})=\mathbb{E}(X_i) \mathbb{E}(S_n^{-1})=\mu \mathbb{E}(S_n^{-1})$

$m>n$

Silberfisch
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Eine sehr schöne Darstellung Ihrer Gedanken, die die Frage durcharbeiten, und Sie machen den nk-Schritt explizit (meine Antwort sagt einfach "klar gleich"). Prost!

Spy_Lord

Danke an whuber für den Hinweis zum ersten Teil.

$nS_m/S_n$ $m<=n$

$\mathbb{E}(nS_m/S_n) = \mathbb{E}((nX_1 + . . . + nX_m)/(X_1 + . . . + X_n))$

$= \mathbb{E}(nX_1/X_1 + . . . + X_n) + . . . + \mathbb{E}(nX_m/X_1 + . . . + X_n)$

und durch die iid-Eigenschaft ist dies gleich:

$m\mathbb{E}((X_1+ . .+ X_n)/(X_1+ . . . + X_n)) = m$

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = m/n$ $m<=n$

Spy_Lord
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