Varianz des Stichprobenmittelwerts der Bootstrap-Stichprobe

9

Sei sind unterschiedliche Beobachtungen (keine Bindungen). Sei X 1 , . . . , X n bezeichnen eine Bootstrap-Probe (eine Probe aus der empirischen CDF) und lassen ˉ X n = 1X.1,...,X.nX.1,...,X.n . Finden SieE( ˉ X n )undVar( ˉ X n ).X.¯n=1nich=1nX.ichE.(X.¯n)V.einr(X.¯n)

Was ich bis jetzt habe , ist , dass ist X 1 , . . . , X n jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1X.ichX.1,...,X.n also E(Xi )=11nund E(X2 i )=1

E.(X.ich)=1nE.(X.1)+...+1nE.(X.n)=nμn=μ
was V a r ( X i ) = E ( X 2 i ) - ( E ( X i ) ) 2 = μ 2 + σ 2 - μ 2 = σ 2 ergibt
E.(X.ich2)=1nE.(X.12)+...+1nE.(X.n2)=n(μ2+σ2)n=μ2+σ2,
V.einr(X.ich)=E.(X.ich2)- -(E.(X.ich))2=μ2+σ2- -μ2=σ2.

Dann ist

E.(X.¯n)=E.(1nich=1nX.ich)=1nich=1nE.(X.ich)=nμn=μ
V.einr(X.¯n)=V.einr(1nich=1nX.ich)=1n2ich=1nV.einr(X.ich)
X.ichV.einr(X.¯n)=nσ2n2=σ2n

X.1,,X.n

V.einr(X.¯n)=E.(V.einr(X.¯n|X.1,...,X.n))+V.einr(E.(X.¯n|X.1,,X.n)).

E.(X.¯n|X.1,,X.n)=X.¯nV.einr(X.¯n|X.1,,X.n)=1n2(X.ich2- -nX.¯n2)V.einr(X.¯n)=(2n- -1)σ2n2

Mache ich hier etwas falsch Ich habe das Gefühl, dass ich die bedingte Varianzformel nicht richtig verwende, bin mir aber nicht sicher. Jede Hilfe wäre dankbar.

rrruss
quelle
Möglicherweise ist Ihr V (E (X | X1..Xn)) nicht korrekt berechnet. Die Antwort sollte dieselbe sein.
Sie haben wahrscheinlich Recht - aber diese Antwort scheint nicht besonders informativ zu sein. Vielleicht könnten Sie darauf hinweisen, welcher Teil nicht korrekt ist?
whuber

Antworten:

5

n- -1n2S.2

Greg
quelle
4

Dies mag eine späte Antwort sein, aber was bei Ihrer Berechnung falsch ist, ist Folgendes: Sie haben angenommen, dass Ihr Bootstrap-Beispiel unbedingt iid ist. Dies ist falsch: Abhängig von Ihrer Stichprobe ist die Bootstrap-Stichprobe zwar iid, aber bedingungslos verlieren Sie die Unabhängigkeit (aber Sie haben immer noch identisch verteilte Zufallsvariablen). Dies ist im Wesentlichen Übung 13 in Larry Wasserman Alle nichtparametrischen Statistiken .

M Turgeon
quelle