Wahrscheinlichkeit, dass eine kontinuierliche Zufallsvariable einen festen Punkt annimmt

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Ich bin in einer einführenden Statistikklasse, in der die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für kontinuierliche Zufallsvariablen definiert wurde als $P\left\{X\in B\right\}=\int_B f\left(x\right)dx$ . Ich verstehe, dass das Integral von $\int\limits_a^af(x)dx=0$ aber ich kann dies nicht mit meiner Intuition einer kontinuierlichen Zufallsvariablen korrigieren. Angenommen, X ist die Zufallsvariable, die der Anzahl der Minuten ab dem Zeitpunkt t entspricht, an dem der Zug ankommt. Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit, dass der Zug in genau 5 Minuten ankommt? Wie kann diese Wahrscheinlichkeit Null sein? Ist das nicht möglich Was passiert , wenn der Zug nicht ankommt genau 5 Minuten ab jetzt, wie könnte es kommen , wenn es Wahrscheinlichkeit 0 hat?

Vielen Dank.

probability random-variable pdf continuous-data geofflittle
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Es ist hilfreich, einige dieser Fragen auf den Kopf zu stellen. Zum Beispiel , wenn Sie Ihre Intuition jeder mögliche Zeit sagt muß eine streng positive Wahrscheinlichkeit hat, dann - weil es eine unzählbare Menge von möglichen Zeiten in jedem Intervall - Ihre Intuition bedeutet die Gesamtwahrscheinlichkeit unendlich ist. Offensichtlich ist diese Intuition falsch. Eine Sache, die aufgegeben werden muss, ist die Idee, dass eine Wahrscheinlichkeit von Null eine Unmöglichkeit impliziert: das ist nicht wahr. Ebenso impliziert eine Wahrscheinlichkeit von eins keine Gewissheit.

whuber

@whuber Das kann ich nicht korrigieren. Wenn die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis stattfindet, 0 ist, sollte es niemals eintreten. Wenn ich zum Beispiel einen sechsseitigen Standardwürfel habe, ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich eine beliebige Zahl

0 und wird daher niemals eintreten. Wie kann ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit 1 im nachfolgenden Experiment keine Gewissheit sein? Könnten Sie ein Beispiel geben?

Z ∖ {1, 2, 3, 4, 5, 6}

$\mathcal{Z}\setminus\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$

Geofflittle

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Angenommen, Sie sehen einen Kreis, in dem ein Akkord angezeigt wird, und es scheint sich um einen Durchmesser zu handeln, der Sie dazu veranlasst, sich zu fragen: "Wie groß war die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Akkord kein Durchmesser gewesen wäre?" Wenn der Akkord durch gleichmäßiges und unabhängiges Auswählen eines Punktepaars entlang des Umfangs erhalten wird, lautet die Antwort

, aber dieses Ereignis ist nicht aufgetreten. Das liefert (ziemlich stark!) Beweise dafür, dass der Akkord nicht das Ergebnis des zufälligen Prozesses war, den Sie postuliert haben. Eine Lehre aus solchen Gedankenexperimenten ist, dass Intuitionen, die auf endlichen Wahrscheinlichkeitsräumen basieren, nicht immer verallgemeinern.

1

$1$

whuber

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Möglicherweise geraten Sie in die Falle, dass "in fünf Minuten" eine begrenzte Zeitspanne dauert (die eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null hätte).

"Fünf Minuten ab jetzt" im Sinne einer kontinuierlichen Variablen ist wirklich augenblicklich.

Stellen Sie sich vor, die Ankunft des nächsten Zuges verteilt sich gleichmäßig zwischen 8:00 und 8:15 Uhr. Stellen Sie sich weiter vor, wir definieren die Ankunft eines Zuges als in dem Moment, in dem die Vorderseite des Zuges einen bestimmten Punkt auf dem Bahnhof passiert (möglicherweise den Mittelpunkt des Bahnsteigs, wenn es keinen besseren Orientierungspunkt gibt). Betrachten Sie die folgende Folge von Wahrscheinlichkeiten:

a) die Wahrscheinlichkeit, dass ein Zug zwischen 8:05 und 8:10 ankommt

b) die Wahrscheinlichkeit, dass ein Zug zwischen 8:05 und 8:06 Uhr ankommt

c) die Wahrscheinlichkeit, dass ein Zug zwischen 8:05:00 und 8:05:01 ankommt

d) die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Zug zwischen 8:05:00 und 8: 05: 00.01 Uhr ankommt (dh innerhalb einer Hundertstelsekunde)

e) die Wahrscheinlichkeit, dass ein Zug zwischen 8:05 und einer Milliardstel Sekunde später ankommt

f) die Wahrscheinlichkeit, dass ein Zug zwischen 8:05 und einer Billiardstel Sekunde später ankommt

... und so weiter

Die Wahrscheinlichkeit, dass es genau um 8:05 Uhr ankommt, ist der Grenzwert einer solchen Folge von Wahrscheinlichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit ist kleiner als jedes . $\epsilon>0$

Glen_b - Monica neu starten
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Ich verstehe das, aber wenn der Zug ankommt, kommt er irgendwann an. Warum kann diese Grenze nicht immer noch zu einer gewissen Wahrscheinlichkeit konvergieren?

Geofflittle

Wenn Sie es verstehen, wie Sie sagen, können Sie die Wahrscheinlichkeit auf die angegebene Weise berechnen . Lassen Sie es mich einfacher machen: Stellen Sie sich zur Vereinfachung der Berechnung vor, dass die genaue Zeit, zu der ein Zug "ankommt" (wie auch immer wir ihn definieren, solange er tatsächlich durchgehend ist), zu einer gleichmäßig verteilten Zeit im Intervall (0,1) (zu welcher Zeit auch immer) ist eine bequeme Zeiteinheit). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Zug vor dem Zeitpunkt

für einige

innerhalb des Intervalls ankommt ? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es nach der Zeit

eintrifft ? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es zwischen

und

ankommt ? ... (ctd)

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x + d x

$x+dx$

Glen_b - Monica neu installieren

(ctd) ... Zu sagen, dass es für eine stetige Variable zum Zeitpunkt

eintrifft , bedeutet "was ist die Grenze dieser letzten Wahrscheinlichkeit als

Also, was ist diese Grenze? Berechnen Sie es! Das heißt Die Wahrscheinlichkeit, zu der es konvergiert. Diese Funktion hängt eng mit dem zusammen, was ein kontinuierliches PDF kontinuierlich macht.

x

$x$

d x \to 0 ?

$dx\to 0?$

Glen_b - Monica

Beachten Sie außerdem, dass Ihre drei Wahrscheinlichkeiten (vor

, nach

und "at"

) nicht zu 1 addieren , wenn diese letzte Grenze alles andere als Null ist.

x

$x$

x

$x$

x

$x$

Glen_b - Monica

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Was ist, wenn der Zug in genau 5 Minuten ankommt? Wie könnte er auftreten, wenn er die Wahrscheinlichkeit 0 hätte?

Eine probabilistische Aussage ist keine Aussage über die Möglichkeit / Durchführbarkeit eines Ereignisses. Es spiegelt nur unseren Versuch wider, unsere Unsicherheit darüber zu quantifizieren. Wenn also ein Phänomen kontinuierlich ist (oder als eines modelliert wird), erlauben uns unsere Werkzeuge und unser aktueller Wissensstand nicht, eine probabilistische Aussage darüber zu treffen, die einen bestimmten Wert annimmt . Wir können eine solche Aussage nur in Bezug auf einen Bereich machenvon Werten. Natürlich besteht der übliche Trick hier darin, die Unterstützung zu diskretisieren und "kleine" Werteintervalle anstelle einzelner Werte zu berücksichtigen. Da kontinuierliche Zufallsvariablen im Vergleich zu diskreten Zufallsvariablen große Vorteile und Flexibilität bieten, hat sich herausgestellt, dass dies ein relativ geringer Preis ist, der möglicherweise so gering ist wie die Intervalle, die wir berücksichtigen müssen.

Alecos Papadopoulos
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Diese Aussagen sind rätselhaft, vielleicht weil sie auf so viele verschiedene Arten interpretiert werden könnten. An einigen Stellen scheinen Sie die Gültigkeit der Verwendung kontinuierlicher Verteilungen zur Modellierung von Phänomenen zu leugnen - und machen eine scharfe Unterscheidung zwischen dem Phänomen und dem Modell - und an anderen Stellen scheinen Sie diese Unterscheidung insgesamt fallen zu lassen. Meine Lektüre, von der ich vermute, dass sie nicht beabsichtigt war, ist, dass Sie behaupten, dass die mathematische Tatsache, dass

für jedes kontinuierliche RV

ist, in Wirklichkeit immer falsch ist, aber das lässt den Eindruck entstehen, dass Sie das leugnen Anwendbarkeit der Wahrscheinlichkeitstheorie!

Pr (X = a) = 0

$\Pr(X=a)=0$

X

$X$

whuber

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Hallo @whuber. In Bezug auf die Unterscheidung zwischen Modell und Phänomen ist eine Karte der Erde keine Erde, aber sie kann Ihnen helfen, die Erde zu durchstreifen. So denke ich über Modelle, wenn ich sie nicht als Objekte reinen intellektuellen Vergnügens behandle (was sie auch sind). Was das Problem der "Nullwahrscheinlichkeit" betrifft, ist es eine Unvollkommenheit - wäre es nicht großartig, alle Vorteile der Kontinuität zu haben und in der Lage zu sein, eine Wahrscheinlichkeitserklärung über einen einzelnen Wert abzugeben? Aber unvollkommen zu sein, macht natürlich etwas nicht unanwendbar, und wie ich schreibe, hat sich diese Unvollkommenheit als wenig wichtig erwiesen.

Alecos Papadopoulos

Sie nehmen implizit an, dass die Wahrscheinlichkeit in Ihrer Mapping-Analogie eine objektive Sache "da draußen" ist, aber dies ist nicht der Fall. Wahrscheinlichkeit hat nur innerhalb eines Modells eine Bedeutung. Ich sehe keine "Unvollkommenheiten" in den Axiomen der Wahrscheinlichkeit, und tatsächlich kann man genaue, konsistente Aussagen über Wahrscheinlichkeiten einzelner Werte treffen: oft sind sie Null.

whuber

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@whuber Nein, das nehme ich nicht an und ich verstehe nicht, wo du das in dem gesehen hast, was ich geschrieben habe. Ich sagte "die Karte ist nicht die Erde", was bedeutet "was im Modell ist, existiert nicht in der Realität". Wie können Sie daraus das genaue Gegenteil schließen? Die "Unvollkommenheit" bezieht sich nicht auf die Axiome der Wahrscheinlichkeit, sondern darauf, zu welchen Werkzeugen diese Axiome uns führen und wie effektiv diese Werkzeuge eingesetzt werden können, um die reale Welt zu modellieren, zu studieren und zu verstehen. Und es ist offensichtlich, dass ich glaube, dass Wahrscheinlichkeit ein wirksames Werkzeug ist.

Alecos Papadopoulos

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Versuchen Sie das folgende (Gedanken-) Experiment, um Ihnen eine Vorstellung davon zu geben:

Zeichnen Sie mit einem Lineal eine reelle Linie um Null. Nehmen Sie nun einen scharfen Pfeil und lassen Sie ihn zufällig von oben auf die Linie fallen (nehmen wir an, Sie treffen immer die Linie und nur die seitliche Positionierung ist für das Argument von Bedeutung).

Egal wie oft Sie den Pfeil zufällig auf die Linie fallen lassen, Sie werden niemals den Punkt Null erreichen. Warum? Überlegen Sie, was der Punkt Null ist, und überlegen Sie, wie breit er ist. Und nachdem Sie erkannt haben, dass seine Breite 0 ist, denken Sie immer noch, dass Sie es treffen können?

Können Sie Punkt 1 oder -2 erreichen? Oder irgendeinen anderen Punkt, den Sie für diese Angelegenheit auswählen?

Um auf die Mathematik zurückzukommen, ist dies der Unterschied zwischen der physischen Welt und einem mathematischen Konzept wie reellen Zahlen (in meinem Beispiel durch die reelle Linie dargestellt). Die Wahrscheinlichkeitstheorie hat eine etwas kompliziertere Definition der Wahrscheinlichkeit als Sie in Ihrer Vorlesung sehen werden. Um die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen und eine beliebige Kombination ihrer Ergebnisse zu quantifizieren, benötigen Sie ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Sowohl das Borel-Maß als auch das Lebesgue-Maß sind für ein Intervall [a, b] auf der realen Linie definiert als: Aus dieser Definition können Sie ersehen, was mit der Wahrscheinlichkeit passiert, wenn Sie die Intervall auf eine Zahl (Einstellung a = b).

μ ([a, b]) = b - a

$\mu([a,b])=b-a$

Das Fazit ist, dass basierend auf unserer aktuellen Definition der Wahrscheinlichkeitstheorie (die auf Kolmogorov zurückgeht) die Tatsache, dass ein Ereignis eine Wahrscheinlichkeit von 0 hat, nicht bedeutet, dass es nicht auftreten kann.

Und was Ihr Beispiel mit dem Zug angeht: Wenn Sie eine unendlich genaue Uhr haben, wird Ihr Zug niemals pünktlich ankommen.

Mittel zur Bedeutung
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Sie sagen "Sie werden niemals den Punkt Null erreichen", aber was können Sie über den Punkt sagen, den ich bei meinem ersten Dartwurf getroffen habe? Sei

der Punkt, den ich getroffen habe. Bevor Sie meinen Pfeil geworfen haben, hätten Sie gesagt "Sie werden niemals den Punkt

treffen ", aber ich habe ihn gerade getroffen. Was jetzt?

x

$x$

x

$x$

Geofflittle

Ich denke, dass Sie zwischen der Frage unterscheiden müssen: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich irgendwann einen Treffer erzielen werde? Wenn wir uns einig sind, dass Sie immer einen Pfeil werfen und dieser immer irgendwo entlang der Linie trifft, ist diese Wahrscheinlichkeit 1. Außerdem sage ich nicht nur, dass Sie nicht 0 treffen werden. Ich sage, dass die Wahrscheinlichkeit, dass Sie JEDEN Punkt treffen, den Sie auswählen VOR dem Werfen des Pfeils ist 0. Tatsächlich können Sie eine beliebige endliche Menge von Punkten auswählen und die Wahrscheinlichkeit ist immer noch 0.

bedeutet-zu-Bedeutung

In Bezug auf Ihre Frage verstehe ich Ihren Standpunkt, aber nach Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen nach ihrem Auftreten zu fragen, ist unsinnig. Eine Aussage wie P (X = x) bezieht sich auf die zukünftige Realisierung einer Zufallsvariablen X. Nachdem Sie einen Punkt erreicht haben, werde ich nichts darüber sagen. (Large Caps werden nur verwendet, um auf den Zeitfluss hinzuweisen, nicht um zu schreien ...)

bedeutet-zu-Bedeutung

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Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung muss einen Bereich der Einheit haben. Wenn das Maß stetig ist, kann es unendlich viele Werte annehmen (dh unendlich viele Werte entlang der x-Achse der Verteilung). Die Gesamtfläche der Wahrscheinlichkeitsverteilung kann nur begrenzt sein, wenn der Wert bei jeder der unendlichen Anzahl von Werten Null ist. Eine durch Unendlichkeit geteilt.

Im "wirklichen Leben" kann es keine Maßnahmen geben, die eine unendliche Anzahl von Werten annehmen (durch mehrere verschiedene philosophische Argumente, die hier nicht viel ausmachen), so dass kein Wert eine Wahrscheinlichkeit von genau Null annehmen muss. Ein nützliches praktisches Argument basiert auf der endlichen Genauigkeit realer Messungen. Wenn Sie eine Stoppuhr verwenden, die eine Zehntelsekunde misst, hat der Zug eine Zehntelsekunde Zeit, um in „genau“ fünf Minuten anzukommen.

Michael Lew
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Der erste Absatz hier liefert eine vage Intuition, obwohl die deduktiven Schritte falsch sind. Es gibt viele Verteilungen, die eine unendliche Anzahl von Werten zulassen, aber jeder Wert hat eine streng positive Wahrscheinlichkeit. Der zweite Absatz könnte von einer Umformulierung profitieren, die betont, dass jedem Messwert ein (kleines) Intervall möglicher Werte der zugrunde liegenden interessierenden Menge zugeordnet ist.

Kardinal

Was ist in diesem Zusammenhang der Unterschied zwischen einem streng positiven Wert (eines endlichen Wertes geteilt durch unendlich?) Und Null?

Michael Lew

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Mein wahrscheinlich schlecht gemachter Punkt ist, dass das Argument im ersten Absatz auf der falschen Prämisse basiert, dass jedes einzelne Ergebnis die Wahrscheinlichkeit Null haben muss, da die Zufallsvariable unendlich viele Werte annehmen kann. Dies ist natürlich falsch (Poisson, geometrisch usw.); Das Konzept der "Unendlichkeit" ist hier nicht stark genug, wir fordern Unzählbarkeit .

Kardinal

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Andere Leute haben geantwortet, warum die Wahrscheinlichkeit Null ist (wenn Sie die Zeit als kontinuierlich schätzen, was effektiv nicht der Fall ist $A$ $A$

Ich schreibe dies, um hoffentlich etwas anderes anzusprechen, das das OP in den Kommentaren gesagt hat:

Sie sagen "Sie werden niemals den Punkt Null erreichen", aber was können Sie über den Punkt sagen, den ich bei meinem ersten Dartwurf getroffen habe? Sei 𝑥 der Punkt, den ich getroffen habe. Bevor Sie meinen Pfeil geworfen haben, hätten Sie gesagt "Sie werden nie den Punkt treffen 𝑥", aber ich habe ihn gerade getroffen. Was jetzt?

$(\Omega, A, \mu)$ $\Omega$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{R}$ $\mu$ $\mu(\Omega) = 1$ $([a,b], \text{all half open intervals on $[a,b]$}, \nu)$ $\nu$ $\nu( [c,d) ) = \frac{1}{d - c}$ $x \in [a,b]$ aus den oben diskutierten Gründen Null - ich denke, wir haben dies geklärt. Aber jetzt, wenn Sie Dinge wie die oben zitierte Passage sagen, definieren Sie etwas, das als Filtration bezeichnet wird und als das wir schreiben werden $\mathcal{F} = \{\mathcal{F}_t\}_{t \geq 0}$ . Eine Filtration ist im Allgemeinen eine Sammlung von Teilmengen von $A$ das befriedigen $\mathcal{F}_t \subseteq \mathcal{F}_s$ für alle $t < s$ . In Ihrem Fall können wir die Filtration definieren

F_{t} = {x \in [a, b] : dart hit x at time t^{'} < t} .

$\mathcal{F}_t = \{x \in [a,b]: \text{dart hit $x$ at time $t' < t$} \}.$ Now, in this new subset of your outcome space, guess what---you're right! You have hit it and, after your first throw, your probability of having hit that point when restricted to the filtration $\mathcal{F}_1$ is 1.

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Because you are using technical language, it would be best to employ standard meanings for the terms. In particular, what you call an "outcome" is usually termed a (basic) event: the outcomes are the elements of

Ω .

$\Omega.$ Your formula for (normalized) Lebesgue measure is incorrect: I suspect you intended

ν ([c, d]) = (d - c) / (b - a) .

$\nu([c,d])=(d-c)/(b-a).$ On a more fundamental level, it isn't clear why you need to invoke the machinery of stochastic processes in order to discuss a random variable modeling the time of a single event, nor is it evident this provides any insight.

whuber

Wahrscheinlichkeit, dass eine kontinuierliche Zufallsvariable einen festen Punkt annimmt

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