Angenommen, ich habe eine gemeinsame Momenterzeugungsfunktion für eine gemeinsame Verteilung mit CDF . Ist eine notwendige und ausreichende Bedingung für die Unabhängigkeit von und ? Ich habe ein paar Lehrbücher durchgesehen, in denen nur die Notwendigkeit erwähnt wurde:F X , Y ( x , y ) M X , Y ( s , t ) = M X , Y ( s , 0 ) ≤ M X , Y ( 0 , t )Y.
Dieses Ergebnis ist klar, da die Unabhängigkeit . Da die MGFs der Marginals durch die gemeinsame MGF bestimmt werden, haben wir:
Aber nachdem ich online gesucht hatte, fand ich nur einen flüchtigen Hinweis ohne Beweis auf das Gegenteil . Ist der folgende Skizzenbeweis praktikabel?
Bei einem gemeinsamen MGF dies eindeutig die Randverteilungen von und und ihren MGFs, und . Die Ränder allein sind mit vielen anderen möglichen gemeinsamen Verteilungen kompatibel und bestimmen eindeutig eine gemeinsame Verteilung, in der und unabhängig sind, mit CDF und MGF:
Wenn wir also für unseren ursprünglichen MGF erhalten, dass , ist dies ausreichend, um . Durch die Einheitlichkeit der MGFs hat unsere ursprüngliche gemeinsame Verteilung dann und und sind unabhängig.
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