Statistik ist nicht Mathe?

Ist Statistik Mathematik oder nicht?

Angesichts der Tatsache, dass es sich um Zahlen handelt, die zumeist von mathematischen Abteilungen unterrichtet werden und für die Sie Mathematik-Credits erhalten, frage ich mich, ob die Leute es nur halb im Scherz meinen, wenn sie es sagen, wie wenn sie sagen, es sei ein kleiner Teil von Mathematik oder nur angewandte Mathematik.

Ich frage mich, ob so etwas wie Statistik, bei der man nicht alles auf Grundaxiomen aufbauen kann, als Mathematik betrachtet werden kann. Zum Beispiel der Wert, ein Konzept, das entstanden ist, um Daten zu verstehen, aber keine logische Konsequenz grundlegenderer Prinzipien ist.$p$

Die Mathematik befasst sich mit idealisierten Abstraktionen, die (fast immer) absolute Lösungen haben, oder die Tatsache, dass es keine solche Lösung gibt, kann im Allgemeinen vollständig beschrieben werden. Es ist die Wissenschaft, komplexe, aber notwendige Konsequenzen aus einfachen Axiomen zu entdecken.

Statistik verwendet Mathematik, aber es ist keine Mathematik. Es ist eine fundierte Vermutung. Es spielt.

Die Statistik befasst sich nicht mit idealisierten Abstraktionen (obwohl sie einige als Werkzeuge verwendet), sondern mit Phänomenen der realen Welt. Statistische Werkzeuge machen häufig vereinfachende Annahmen, um die unübersichtlichen Daten der realen Welt auf etwas zu reduzieren, das in die Problemdomäne einer gelösten mathematischen Abstraktion passt. Auf diese Weise können wir fundierte Vermutungen anstellen, aber das ist eigentlich alles, was Statistiken ausmachen: die Kunst, gut informierte Vermutungen anzustellen.

Betrachten Sie Hypothesentests mit p-Werten. Angenommen, wir testen eine Hypothese mit einer Signifikanz von , und nach dem Erfassen von Daten finden wir einen p-Wert von . Wir lehnen also die Nullhypothese zugunsten einer alternativen Hypothese ab.$\alpha = 0.01$$0.001$

Aber was ist dieser p-Wert wirklich? Was ist die Bedeutung? Unsere Teststatistik wurde so entwickelt, dass sie einer bestimmten Verteilung entspricht, wahrscheinlich dem t eines Schülers. Unter der Nullhypothese ist das Perzentil unserer beobachteten Teststatistik der p-Wert. Mit anderen Worten, der p-Wert gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass wir einen Wert erhalten, der so weit von der Erwartung der Verteilung (oder weiter) entfernt ist wie die beobachtete Teststatistik. Die Signifikanzstufe ist eine ziemlich willkürliche Faustregel: Wenn Sie sie auf setzen, können Sie sagen: "Es ist akzeptabel, wenn 1 von 100 Wiederholungen dieses Experiments darauf hindeuten, dass wir die Null ablehnen, auch wenn die Null tatsächlich wahr ist. "$0.01$

Der p-Wert gibt uns die Wahrscheinlichkeit, dass wir die vorliegenden Daten beobachten, vorausgesetzt, dass die Null wahr ist (oder besser gesagt, ein bisschen technischer, dass wir Daten unter der Nullhypothese beobachten, die uns einen mindestens ebenso extremen Wert der ergibt getestete Statistik als die, die wir gefunden haben). Wenn wir die Null ablehnen, wollen wir, dass diese Wahrscheinlichkeit klein ist und sich Null nähert. In unserem speziellen Beispiel haben wir festgestellt, dass die Wahrscheinlichkeit, die von uns erfassten Daten zu beobachten, wenn die Nullhypothese wahr ist, nur beträgt, und haben die Null zurückgewiesen. Dies war eine fundierte Vermutung. Wir haben nie wirklich wissen sicher , dass die Nullhypothese falsch ist , diese Methoden verwenden, entwickeln wir gerade eine Messung dafür , wie stark unsere Beweise für die Alternative unterstützt.$0.1\%$

Haben wir den p-Wert mit Mathematik berechnet? Sicher. Aber Mathe gab uns nicht unsere Schlussfolgerung. Basierend auf den Beweisen bildeten wir eine fundierte Meinung, aber es ist immer noch ein Glücksspiel. Wir haben festgestellt, dass diese Tools in den letzten 100 Jahren äußerst effektiv waren, aber die Menschen in der Zukunft werden sich möglicherweise entsetzt über die Fragilität unserer Methoden wundern.

Zunge fest in der Wange:

Einstein hat anscheinend geschrieben

Soweit sich die Gesetze der Mathematik auf die Realität beziehen, sind sie nicht sicher; und soweit sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Realität.

Statistik ist also der Zweig der Mathematik, der die Realität beschreibt. ;O)

Ich würde sagen, Statistik ist ein Zweig der Mathematik, so wie Logik ein Zweig der Mathematik ist. Es enthält sicherlich ein Element der Philosophie, aber ich glaube nicht, dass es der einzige Zweig der Mathematik ist, in dem dies der Fall ist (siehe z. B. Morris Kline, "Mathematik - Der Verlust der Gewissheit", Oxford University Press, 1980).

Nun, wenn Sie sagen, dass "so etwas wie Statistik, wo man nicht alles auf Grundaxiomen aufbauen kann ", dann sollten Sie wahrscheinlich über Kolmogorovs axiomatische Wahrscheinlichkeitstheorie lesen. Kolmogorov definiert Wahrscheinlichkeit auf abstrakte und axiomatische Weise, wie Sie in diesem PDF auf Seite 42 oder hier unten auf Seite 1 und den nächsten Seiten sehen können .

Um Ihnen einen Vorgeschmack auf seine abstrakten Definitionen zu geben, definiert er eine Zufallsvariable als messbare Funktion. Dies wird hier „intuitiver“ erläutert: Wenn eine Zufallsvariable eine Funktion ist, wie definieren wir eine Funktion von a? zufällige Variable

Mit einer sehr begrenzten Anzahl von Axiomen und unter Verwendung von Ergebnissen aus der (wiederum mathematischen) Maßtheorie kann er Begriffe wie Zufallsvariablen, Verteilungen, bedingte Wahrscheinlichkeit usw. abstrakt definieren und alle bekannten Ergebnisse wie das Gesetz der großen Zahlen ableiten. ... aus diesem Satz von Axiomen. Ich rate Ihnen, es zu versuchen, und Sie werden über die mathematische Schönheit überrascht sein.

Eine Erklärung zu p-Werten finden Sie unter: Missverständnisse bei einem P-Wert?

Ich habe keine rigorose oder philosophische Grundlage, um darauf zu antworten, aber ich habe gehört, dass die "Statistik ist nicht Mathe" -Beschwerde oft von Leuten stammt, normalerweise von Physikern. Ich denke, die Leute wollen Gewissheit über ihre Mathematik, und die Statistik bietet (normalerweise) nur probabilistische Schlussfolgerungen mit zugehörigen p-Werten. Genau das liebe ich an Statistiken. Wir leben in einer von Grund auf unsicheren Welt und tun unser Bestes, um sie zu verstehen. Und wir machen einen tollen Job, alles in allem.

Vielleicht liegt es daran, dass ich ein Plebe bin und keine fortgeschrittenen Mathematikkurse belegt habe, aber ich verstehe nicht, warum Statistik keine Mathematik ist. Die Argumente hier und zu einer doppelten Frage sprechen anscheinend für zwei Hauptgründe, warum Statistik keine Mathematik ist ^* .

1. Es ist nicht genau / sicher und beruht daher auf Annahmen.
2. Es wendet Mathematik auf Probleme an und immer wenn Sie Mathematik anwenden, ist es keine Mathematik mehr.

Ist nicht genau und verwendet Annahmen

Annahmen / Annäherungen sind für viele Mathematiker nützlich.

Die Eigenschaften eines Dreiecks, die ich in der Grundschule kennengelernt habe, werden meines Erachtens als echte Mathematik angesehen, auch wenn sie in nicht-elukidischer Geometrie nicht zutreffen. Wenn man also die Grenzen zulässt oder anders angibt, "vorausgesetzt, dass XYZ das Folgende gilt", disqualifiziert dies einen Zweig der Mathematik nicht davon, "wahre" Mathematik zu sein.

Ich bin mir sicher, dass Kalkül eine reine Mathematikform ist, aber Grenzen sind das Kernwerkzeug, auf dem wir es aufgebaut haben. Wir können weiter bis zum Limit rechnen, genauso wie wir eine Stichprobe immer größer machen können, aber wir können auch keinen größeren Einblick über einen bestimmten Schwellenwert hinaus gewähren.

Sobald Sie Mathe anwenden, ist es nicht Mathe

Der offensichtliche Widerspruch besteht darin, dass wir Mathematik verwenden, um mathematische Theoreme zu beweisen, und niemand argumentiert, dass es keine Mathematik ist, mathematische Theoreme zu beweisen.

Die nächste Aussage könnte sein, dass thing xes sich nicht um Mathematik handelt, wenn Sie Mathematik verwenden, um ein Ergebnis zu erhalten. Das ergibt auch keinen Sinn.

Die Aussage, der ich zustimmen würde, ist, dass, wenn Sie die Ergebnisse einer Berechnung verwenden, um eine Entscheidung zu treffen, die Entscheidung nicht mathematisch ist . Das heißt nicht, dass die Analyse, die zur Entscheidung führt, keine mathematische ist .

Ich denke, wenn wir statistische Analysen verwenden, ist die gesamte durchgeführte Mathematik echte Mathematik. Erst wenn wir die Ergebnisse jemandem zur Interpretation übergeben, verlässt die Statistik die Mathematik. Als solche machen Statistiken und Statistiker echte Mathematik und sind echte Mathematiker. Es ist die Interpretation des Unternehmens und / oder die Übersetzung der Ergebnisse in das Unternehmen durch den Statistiker, die nicht mathematisch ist.

Aus den Kommentaren:

Whuber sagte:

Wenn Sie "Statistik" durch "Chemie", "Ökonomie", "Ingenieurwesen" oder ein anderes Fachgebiet, das Mathematik verwendet (z. B. Hauswirtschaft), ersetzen würden, würde sich anscheinend nichts an Ihrem Argument ändern.

Ich denke, der Hauptunterschied zwischen "Chemie", "Ingenieurwesen" und "Ausbalancieren meines Scheckbuchs" besteht darin, dass in diesen Feldern nur vorhandene mathematische Konzepte verwendet werden. Es ist mein Verständnis , dass die Statistiker wie Guass erweitert den Körper von mathematischen Konzepten. Ich bin der Meinung ^{(das mag offensichtlich falsch sein),} dass man, um einen Doktortitel in Statistik zu erwerben, in gewisser Weise dazu beitragen muss, die mathematischen Konzepte zu erweitern. Chemie / Ingenieurwissenschaften Doktoranden haben meines Wissens nach diese Anforderung nicht.

Die Unterscheidung , dass Statistiken dazu beiträgt , um den Körper von mathematischen Begriffen ist , was es abgesehen von den Sets anderen Feldern , die nur verwenden mathematische Konzepte .

*: Die bemerkenswerte Ausnahme ist diese Antwort , die effektiv besagt, dass die Grenzen aus verschiedenen sozialen Gründen künstlich sind. Ich denke das ist die einzig wahre Antwort, aber wo ist der Spaß dabei? ;)

Statistische Tests, Modelle und Inferenzwerkzeuge sind in der Sprache der Mathematik formuliert, und Statistiker haben mathematisch nachgewiesene dicke Bücher mit sehr wichtigen und interessanten Ergebnissen über sie. In vielen Fällen liefern die Beweise überzeugende Beweise dafür, dass die fraglichen statistischen Tools zuverlässig und / oder leistungsfähig sind.

Statistik und ihre Gemeinschaft mögen für Mathematiker eines bestimmten Geschmacks nicht "rein" genug sein, aber sie ist definitiv extrem tief in Mathematik investiert, und theoretische Statistik ist ebenso ein Zweig der Mathematik wie theoretische Physik oder theoretische Informatik.

Der "Unterschied" beruht auf: Induktivem Denken vs. Deduktivem Denken vs. Inferenz. Zum Beispiel kann kein mathematisches Theorem angeben, welche Verteilung oder welche Priorität Sie für Ihre Daten / Ihr Modell verwenden können.

Die Bayes'sche Statistik ist übrigens ein axiomatisierter Bereich.

Dies mag eine sehr unpopuläre Meinung sein, aber angesichts der Geschichte und Formulierung von Konzepten der Statistik (und der Wahrscheinlichkeitstheorie) betrachte ich Statistik als Teilbranche der Physik .

Tatsächlich formalisierte Gauß zunächst das Regressionsmodell der kleinsten Quadrate in astronomischen Vorhersagen. Die meisten Beiträge zur Statistik vor Fisher stammten von Physikern (oder hochangewandten Mathematikern, deren Arbeit nach heutigen Maßstäben Physik heißen würde): Lyapunov, De Moivre, Gauss und einem oder mehreren der Bernoullis.

Das übergeordnete Prinzip ist die Charakterisierung von Fehlern und scheinbarer Zufälligkeit, die sich aus einer unendlichen Anzahl nicht gemessener Variationsquellen ausbreiten. Da Experimente schwerer zu kontrollieren waren, mussten experimentelle Fehler formell beschrieben und berücksichtigt werden, um das Übergewicht der experimentellen Beweise gegen das vorgeschlagene mathematische Modell zu kalibrieren. Später, als sich die Teilchenphysik mit Quantenphysik befasste, lieferte die Formalisierung von Teilchen als Zufallsverteilungen eine präzisere Beschreibung der scheinbar unkontrollierbaren Zufälligkeit mit Photonen und Elektronen.

Die Eigenschaften von Schätzern wie ihr Mittelwert (Massenmittelpunkt) und ihre Standardabweichung (zweites Moment der Abweichungen) sind für Physiker sehr intuitiv. Die Mehrheit der Grenzwertsätze kann lose mit dem Murphyschen Gesetz in Verbindung gebracht werden, dh dass die begrenzende Normalverteilung die maximale Entropie ist.

Die Statistik ist also ein Teilbereich der Physik.