Wie zeigt man, dass es für eine Poisson-Verteilung mit Mittelwert keinen unverzerrten Schätzer für

Angenommen, $X_{0},X_{1},\ldots,X_{n}$ sind Zufallsvariablen, die der Poisson-Verteilung mit dem Mittelwert folgen . Wie kann ich nachweisen, dass es keinen unvoreingenommenen Schätzer für die Menge ?$\lambda$$\dfrac{1}{\lambda}$

Es sei angenommen, dass ein unverzerrter Schätzer von 1 / λ ist, dh is ( x 0 , … , x n ) ∈ N n + 1 0 g ( x 0 , … , x n ). λ ∑ n i = 0 x $g(X_0, \ldots, X_n)$$1/\lambda$ Multiplizieren Danndurch λ e ( n + 1 ) λ und die MacLaurin Reihe von Aufrufen von e ( n + 1 ) λ wir die Gleichheit schreiben kann Σ ( x 0 , ... , x n ) ∈ N n + 1 0 g ( x 0 , … , x n

$$\sum_{(x_0, \ldots, x_n) \in \mathbb{N}_0^{n+1}} g(x_0, \ldots, x_n) \frac{\lambda^{\sum_{i=0}^n x_i}}{\prod_{i=0}^n x_i!} e^{-(n + 1) \lambda} = \frac{1}{\lambda}, \quad \forall \lambda > 0.$$ $\lambda e^{(n + 1) \lambda}$$e^{(n + 1) \lambda}$ wobei wir eine Gleichheit von zwei Potenzreihen haben, von denen eine einen konstanten Term hat (die rechte Seite) und die andere keinen: einen Widerspruch. Somit existiert kein unvoreingenommener Schätzer. $$\sum_{(x_0, \ldots, x_n) \in \mathbb{N}_0^{n+1}} \frac{g(x_0, \ldots, x_n)}{\prod_{i=0}^n x_i!} \lambda^{1 + \sum_{i=0}^n x_i} = 1 + (n + 1)\lambda + \frac{(n + 1)^2 \lambda^2}{2} + \ldots , \quad \forall \lambda > 0,$$