Invertieren der Fourier-Transformation für eine Fisher-Verteilung

Die charakteristische Funktion der Verteilung von Fisher ist: wobei ist die konfluente hypergeometrische Funktion . Ich versuche die inverse Fouriertransformation der Faltung zu lösen , um die Dichte einer Variablen , dh : mit dem Ziel, die Verteilung der Summe von $\mathcal{F}(1,\alpha)$

C (t) = \frac{Γ (\frac{α + 1}{2}) U (\frac{1}{2}, 1 - \frac{α}{2}, - ich t α)}{Γ (\frac{α}{2})}

$C(t)=\frac{\Gamma \left(\frac{\alpha +1}{2}\right) U\left(\frac{1}{2},1-\frac{\alpha }{2},-i t \alpha \right)}{\Gamma \left(\frac{\alpha }{2}\right)}$

U

$U$

F_{t, x}^{- 1}

$\mathcal {F} _ {t,x}^{-1}$

n

$n$

x

$x$

F_{t, x}^{- 1} (C (t)^{n})

$\mathcal {F} _ {t,x}^{-1} \left(C(t)^n\right)$

n

$n$ Von Fischern verteilte Zufallsvariablen. Ich frage mich, ob jemand eine Idee hat, da es sehr schwer zu lösen scheint. Ich habe erfolglos versucht, Werte von und

zu verwenden. Hinweis: Für

erhalte ich durch Faltung das PDF des Durchschnitts (nicht der Summe):

α = 3

$\alpha=3$

n = 2

$n=2$

n = 2

$n=2$

\frac{3 (12 (x^{2} + 3) (5 x^{2} - 3) x^{2} + 9 (20 x^{4} + 27 x^{2} + 9) Log (\frac{4 x^{2}}{3} + 1) + 2 \sqrt{3} (x^{2} + 15) (4 x^{2} + 3) x^{3} {bräunen}^{- 1} (\frac{2 x}{\sqrt{3}}))}{π^{2} x^{3} {(x^{2} + 3)}^{3} (4 x^{2} + 3)}

$\frac{3 \left(12 \left(x^2+3\right) \left(5 x^2-3\right) x^2+9 \left(20 x^4+27 x^2+9\right) \log \left(\frac{4 x^2}{3}+1\right)+2 \sqrt{3} \left(x^2+15\right) \left(4 x^2+3\right) x^3 \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{\sqrt{3}}\right)\right)}{\pi ^2 x^3 \left(x^2+3\right)^3 \left(4 x^2+3\right)}$ ,

Dabei ist $x$ ein Durchschnitt von 2 Variablen. Ich weiß, dass es unhandlich ist, würde aber gerne eine Vorstellung von der Annäherung der Beckenverteilung bekommen.

probability random-variable f-distribution saddlepoint-approximation Nero
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Ist diese Frage lebendig?

Brethlosze

Ja, es ist noch offen.

Nero

Ich nehme an, Sie stehen unter einem symbolischen Paket, oder?

Brethlosze

Verwandte (?): Mathoverflow.net/questions/184367/… jstor.org/stable/2287787?seq=1#page_scan_tab_contents sciencedirect.com/science/article/pii/016771529190098C

kjetil b halvorsen

Antworten:

Es gibt keine geschlossene Formdichte für eine Faltung von F-Statistiken, daher ist es unwahrscheinlich, dass der Versuch, die charakteristische Funktion analytisch umzukehren, zu irgendetwas Nützlichem führt.

In der mathematischen Statistik ist die gekippte Edgeworth-Expansion (auch Sattelpunkt-Approximation genannt) eine bekannte und häufig verwendete Technik zur Approximation einer Dichtefunktion bei gegebener charakteristischer Funktion. Die Sattelpunktnäherung ist oft bemerkenswert genau. Ole Barndorff-Nielsen und David Cox haben ein Lehrbuch geschrieben, das diese mathematische Technik erklärt.

Es gibt andere Möglichkeiten, um das Problem zu lösen, ohne die charakteristische Funktion zu verwenden. Man würde erwarten, dass die Faltungsverteilung in ihrer Form so etwas wie eine F-Verteilung ist. Man könnte eine Näherung wie für die Faltung versuchen und dann und wählen , um die ersten beiden Momente der Verteilung korrekt zu machen. Dies ist bei dem bekannten Mittelwert und der Varianz der F-Verteilung einfach. $aF(n,k)$ $n$ $a$ $k$

Wenn groß ist, konvergiert die Faltung zu einer chisquare-Verteilung auf Freiheitsgraden. Dies entspricht der Auswahl von und in der obigen Näherung, was zeigt, dass die einfache Näherung für großes genau ist . $\alpha$ $n$ $a=n$ $k=\infty$ $\alpha$

Gordon Smyth
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